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Effet Lehmann électrique
Rotation des gouttes sous champ électrique
La première mise en évidence expérimentale d’un analogue électrique à l’effet Lehmann thermique est l’expérience de Madhusudana et Pratibha [Mad87, Mad89] : sous champ électrique continu, la texture de gouttes de cristal liquide cholestérique en suspension dans une huile tourne de façon continue. Notons que les gouttes cholestériques et l’expérience en elle-même ressemblent fort à celles de Lehmann, cf. figure 1.4.
Le sens de rotation observé dépend du signe de la tension électrique appliquée, en accord avec la théorie de Leslie-de Gennes qui prévoit un couplage linéaire entre le champ électrique et la vitesse de rotation, pro-portionnelle au couple qui agit sur le directeur. Par ailleurs, le sens de rotation dépend aussi de celui de la torsion spontanée, droite ou gauche, du cristal liquide cholestérique utilisé, ce qui plaide en faveur du point de vue de Pleiner et Brand 2. Enfin, notons que la texture des gouttes ne tourne que pour des tensions électriques suffisamment grandes, su-périeures à quelques volts. Ce seuil est attribué à l’écrantage du champ électrique par les charges dans les couches de Debye qui se forment au voisinage des électrodes.
L’expérience de Padmini et Madhusudana
En 1991, Madhusudana, Pratibha et Padmini conçoivent une autre ex-périence pour mettre en évidence l’effet Lehmann électrique de façon dif-férente [Mad91]. Il s’agit cette fois d’appliquer une tension électrique al-ternative basse fréquence à un échantillon de cristal liquide cholestérique. Un couple oscillant doit donc logiquement s’appliquer sur le directeur et le faire osciller. C’est bien ce qu’observent ces auteurs, qui détectent effec-tivement des oscillations à la fréquence du champ, mettant en évidence un couplage électromécanique linéaire qu’ils assimilent à un effet Lehmann électrique.
Deux ans plus tard, Padmini et Madhusudana reproduisent l’expé-rience en utilisant un cholestérique compensé [Pad93]. Ils montrent alors que l’amplitude des oscillations s’annule à la température d’inversion, en accord avec les prédictions de Pleiner et Brand 3 [Ple88]. Notons dès maintenant l’existence d’un effet de seuil dans cette expérience sur le-quel nous reviendrons longuement plus tard (cf. section 4.2) et que les auteurs attribuent à un manque de sensibilité de la détection optique des oscillations.
Les expériences d’Éber et Jánossy et de Padmini et Madhusudana conduisent donc à des conclusions opposées. Il y a là une contradiction à résoudre. Nous reviendrons donc plus en détail sur ces deux expériences aux chapitres 5 et 4 respectivement.
Dérive des doigts cholestériques sous champ élec-trique
Les doigts cholestériques sont des structures de forme allongée qui se forment dans certaines conditions, lorsque le cristal liquide ne peut pas prendre sa structure naturelle en hélice à cause d’incompatibilités avec les conditions aux limites 4. Il existe plusieurs espèces de doigts choles-tériques, différant par leurs topologies et leurs symétries [Osw00]. Nous nous intéresserons uniquement aux doigts dits de types I et II 5.
En 1997, Gil et Thiberge montrent théoriquement que l’effet Lehmann, qu’il soit thermique ou électrique, doit conduire à une translation à vi-tesse constante des doigts perpendiculairement à leurs axes [Gil97]. Ils calculent aussi la vitesse de dérive et montrent qu’elle est proportionnelle au champ électrique (ou au gradient de température) et à une intégrale sur la section du doigt d’une fonction compliquée du champ de direc-teurs, cf. section 6.3. En pratique, on connaît mal le champ de directeurs dans un doigt cholestérique, mais on connaît ses propriétés de symétrie, ce qui permet de dire si l’intégrale dépend ou non du signe du gradient de potentiel (ou de température) appliqué.
D’un autre côté, on sait expérimentalement que les doigts de type I dé-rivent et forment des spirales lorsqu’on leur applique une tension conti-nue [Hin84, Fri93, Gil94]. On ne peut néanmoins pas assurer que leur vitesse de dérive est proportionnelle au champ électrique, conformément à l’expression obtenue par Gil et Thiberge, car ces doigts cholestériques ne sont stables que dans une plage de tension très réduite. En revanche, l’expérience montre que leurs vitesses de dérive pour deux tensions op-posées sont égales et en sens contraires. Par conséquent, les doigts de type I ne doivent pas dériver sous champ alternatif, puisqu’à chaque pé-riode ils vont aussi loin dans un sens que dans l’autre. C’est bien ce qui est observé expérimentalement.
Au contraire, la symétrie des doigts de type II leur confère des vitesses de dérive inégales en valeur absolue pour deux tensions opposées. C’est la raison pour laquelle, expérimentalement, ces doigts dérivent perpendi-culairement à leurs axes sous l’action d’une tension alternative [Rib94]. Ce comportement est donc bien expliqué par le modèle de Gil et Thiberge. En revanche, il apparaît que la dérive des doigts de type II cesse lorsque la fréquence de la tension appliquée dépasse la fréquence de relaxation des charges [Bau99]. Ce comportement inattendu n’est pas expliqué par le modèle précédent basé sur le seul effet Lehmann et suggère que les charges libres jouent un rôle important dans la dérive des doigts.
Théorie de Tarasov et collaborateurs
Sur la base de ces observations, Tarasov, Krekhov et Kramer ont pro-posé en 2003 une explication alternative à la dérive des doigts cholesté-riques sous champ électrique ne faisant pas intervenir l’effet Lehmann [Tar03b]. Leur modèle électro-hydrodynamique rend compte de la dérive des deux types de doigts. Dans le cas des doigts de type I dérivant sous champ continu, un écoulement induit par la génération de charges flexo-électrique (cf. section 2.4) peut décrire la dérive, mais sans comparaison quantitative possible avec les expériences. En ce qui concerne les doigts de type II, la séparation des charges due à l’anisotropie de conductivité électrique ajoute une composante horizontale au champ électrique sui-vant un mécanisme du type Carr-Helfrich bien connu dans les cristaux liquides, qui peut entraîner la dérive sous champ alternatif. L’accord avec les expériences est quantitatif dans ce cas.
Par ailleurs, les mêmes auteurs expliquent avec le même modèle la rotation des gouttes observée dans l’expérience de Madhusudana et Pra-tibha [Tar03b, Tar03a, Tar03c]. La vitesse de rotation obtenue dans le cadre de ce modèle varie linéairement avec le champ électrique appliqué et change de signe quand la torsion de l’hélice est inversée, en accord avec l’expérience. Il prédit également que la vitesse de rotation dépend de la taille de la goutte, ce qui reste à vérifier expérimentalement. Enfin, ces auteurs suggèrent — sans le prouver — que la flexo-électricité pourrait aussi expliquer les expériences de Padmini et Madhusudana.
En résumé, un couplage électromécanique de type Lehmann a été in-voqué pour expliquer plusieurs expériences, mais dans la plupart des cas une explication alternative a été proposée, basée sur d’autres propriétés bien connues des cristaux liquides.
Aucune expérience à ce jour ne démontre donc de façon certaine l’exis-tence de l’effet Lehmann électrique.
Effet Lehmann chimique
Le premier exemple de couplage diffusomécanique est dû à Jánossy et date de 1981 [Jan81]. Cependant, il s’agit de la diffusion de particules col-loïdales, dont la taille est voisine du pas cholestérique, provoquée par un cisaillement et non par une rotation du directeur. De plus, de nombreuses disinclinaisons rendent complexes l’interprétation.
L’expérience de Tabe et Yokoyama, en 2003, met en évidence de façon beaucoup plus directe un effet Lehmann chimique [Tab03] : une couche monomoléculaire de cristal liquide chiral est déposée à la surface libre d’un bain de glycérol. Les molécules s’alignent avec leurs voisines et forment un angle avec la verticale. Lorsqu’un flux de molécules d’eau passe à travers la monocouche, il provoque la rotation du directeur au-tour d’un axe vertical.
Les auteurs ont vérifié que le sens de rotation s’inverse si l’on rem-place le cristal liquide par son énantiomère — la molécule image dans un miroir — ou si l’on inverse le sens du flux d’eau. Ils ont également trouvé, en effectuant des mesures sur 14 composés différents, que la vi-tesse de rotation des molécules est proportionnelle à la torsion spontanée du cristal liquide en échantillon massif.
Svenšek, Pleiner et Brand voient dans ce dernier résultat une preuve supplémentaire que l’effet Lehmann est un phénomène spécifique aux systèmes « macroscopiquement chiraux » [Sve06]. Cependant, il nous sem-ble difficile d’attribuer une chiralité macroscopique à une couche mono-moléculaire uniformément orientée dans sa configuration d’équilibre sans prendre en compte la chiralité moléculaire.
Problématique de la thèse
À la lumière de ces résultats, nous pouvons faire les constats suivants :
– L’expérience initiale de Lehmann n’a jamais été reproduite, sans doute, faute de détails expérimentaux.
– Le coefficient Lehmann thermique n’a jamais été mesuré, hormis par Éber et Jánossy dont l’expérience est controversée tant sur le fondement théorique que sur la méthode de mesure (manque de précision expérimentale).
– L’expérience de Padmini et Madhusudana en champ électrique al-ternatif semble contredire celle d’Éber et Jánossy, mais il pourrait exister une autre interprétation basée notamment sur la flexo-élec-tricité comme le suggèrent Tarasov et ses collaborateurs.
– Les arguments de Pleiner et Brand sur la symétrie macroscopique d’un cholestérique compensé ne sont pas très convaincants : en ef-fet, dans un tel système, la chiralité reste présente à l’échelle micro-scopique, au niveau moléculaire, ce qui pourrait avoir des consé-quences à l’échelle macroscopique. Notons d’ailleurs que ni Leslie, ni de Gennes n’a pris parti dans cette controverse sur les symétries.
– Le mécanisme microscopique responsable de l’effet Lehmann n’est pas connu.
Le premier objectif de cette thèse sera donc d’estimer l’ordre de gran-deur du coefficient Lehmann dans les cristaux liquides cholestériques si cela est possible.
Le deuxième sera de résoudre la question suivante :
Parmi les différentes expressions possibles de la chiralité, lesquelles sont pertinentes pour déterminer les symétries d’un matériau à l’échelle ma-croscopique, notamment dans le cas d’un cholestérique compensé ? Au-trement dit, un cholestérique compensé a-t-il les mêmes symétries qu’un nématique ? Dans le cadre de la théorie de Leslie de l’effet Lehmann, cette question revient à se demander de quelle quantité dépend le pseudosca-laire n ? On peut en effet formuler trois hypothèses :
1. Le coefficient Lehmann est proportionnel à la torsion spontanée du cristal liquide cholestérique. Cela revient à supposer qu’un choles-térique compensé à la température d’inversion n’est pas chiral à l’échelle macroscopique, ses symétries étant les mêmes que celles d’un nématique. C’est le point de vue défendu par Pleiner et Brand et adopté par la majorité des auteurs [Mad91, Gil97, Tab03]. L’expé-rience de Padmini et Madhusudana semble d’ailleurs en faveur de cette hypothèse. 2. L’effet Lehmann, qui est fondamentalement dû la chiralité molécu-laire, est lié de façon non triviale à la torsion. C’est le point de vue d’Éber et Jánossy, conforté par leur expérience montrant que le co-efficient n ne s’annule pas au point de compensation. Si cette hy-pothèse est correcte, les symétries de la phase à l’échelle macrosco-pique sont différentes dans un nématique et dans un cholestérique compensé à la température d’inversion.
3. Le coefficient Lehmann est seulement proportionnel à la torsion réelle du cristal liquide. Il n’est alors plus une grandeur intrinsèque. Cette hypothèse est compatible avec la théorie et les expériences d’Ako-pyan et ses collaborateurs, qui montrent l’existence d’un couplage thermomécanique dans un nématique mécaniquement déformé.
Remarquons que les différentes hypothèses envisagées ne s’excluent pas nécessairement. En effet, le coefficient Lehmann pourrait avoir une composante constante — hypothèse 1 ou 2 — à laquelle s’ajouterait une composante dépendant de la torsion réelle — hypothèse 3. Seules les hypothèses 1 et 2 ne sont pas compatibles entre elles.
Finalement, notons que Tarasov et ses collaborateurs suggèrent que l’effet Lehmann thermique puisse s’expliquer par des effets de convec-tion ou de tension de surface, sans nécessiter de recourir à la théorie phénoménologique de Leslie [Tar03b].
Rappels sur les cholestériques
Chaque science, chaque étude, a son jargon inintelligible, qui semble n’être inventé que pour en défendre les approches.
Voltaire, Essai sur la poésie épique
L’objectif de ce chapitre est de rappeler quelques propriétés physiques es-sentielles des cristaux liquides, et plus spécifiquement des cholestériques. Nous introduirons aussi les notations qui seront utilisées par la suite.
Ordre orientationnel
Les cristaux liquides auxquels nous allons nous intéresser sont consti-tués de molécules de forme allongée, relativement rigides. Dans la phase liquide isotrope usuelle, les molécules ont des positions et des orienta-tions aléatoires. Lorsque le système est refroidi en dessous d’une tem-pérature TN I , il subit une transition de phase. Les molécules tendent à s’orienter autour d’une direction locale commune, repérée par un vecteur unitaire, le directeur, noté ~n(~r).
On notera z l’axe vertical orienté vers le haut. L’orientation du direc-teur sera repérée par les angles d’Euler q et f, q désignant l’angle entre le directeur et le plan xy horizontal et f désignant l’azimut du directeur par rapport à l’axe x.
Anisotropie
L’existence d’une direction 1 privilégiée brise l’isotropie du milieu. Les propriétés physiques telles que les conductivités thermique l et électrique s, la permittivité diélectrique relative #, l’indice optique n, etc. ont des va-leurs différentes dans la direction du directeur et perpendiculairement. Le milieu est anisotrope et les grandeurs précédentes sont des tenseurs et non des scalaires. On notera respectivement avec les indices et ? les grandeurs dans les directions parallèle et perpendiculaires au directeur. La grandeur indicée a représentera la différence entre la grandeur paral-lèle et la grandeur perpendiculaire. Par exemple, #a = # #?. Dans le cas des indices optiques, on utilisera les notations suivantes : ne (respecti-vement no) désignera l’indice extraordinaire (respectivement, ordinaire), correspondant à une polarisation parallèle (respectivement perpendicu-laire) au directeur et Dn = ne no représentera la biréfringence.
Dans un cholestérique le directeur tend à former spontanément une hélice dont le pas p dépend de la température. La torsion spontanée est définie comme q0(T) = 2pp , p étant positif. Elle est positive si l’hélice est droite et négative si l’hélice est gauche. Dans un cholestérique compensé, il existe une température T0 à laquelle q0 s’annule et change de signe.
À cette température, l’état le plus stable est donc uniformément déroulé, comme dans un nématique.
Élasticité
Les déformations du champ de directeurs par rapport à sa configura-tion d’équilibre en absence de contraintes sont défavorables énergétique-ment. L’énergie libre volumique f associée à une déformation quelconque vaut f = K21 r~ ~n + K22 ~n r~ ~n + q0 + K23 ~n r~ ~n (2.1)
Dans cette expression, les trois termes correspondent aux trois modes possibles de déformation : K1 est la constante élastique associée à une déformation en éventail, K2 correspond à une déformation de torsion, tandis que K3 est associé à une déformation de flexion.
Figure 2.2 – Déformations élastiques élémentaires : éventail (K1), torsion (K2) et flexion (K3).
Il est facile de vérifier que la configuration de plus basse énergie cor-respond à une structure en hélice du directeur telle que ~n(~r) = cos q0z e~x + sin q0z ~ey (2.2) dans un repère orthonormé direct (e~x, ~ey, ~ez) quelconque. La constante q0 caractérise donc la torsion spontanée de la phase cholestérique, puisqu’à l’équilibre 2 f = 0 et la torsion réelle ~ ~n r ~n est égale à q0.
2. À l’équilibre, f est minimum, donc f = 0.
Polarisation
La polarisation macroscopique du cristal liquide peut avoir deux ori-gines : elle peut être induite par un champ électrique extérieur ou prove-nir d’une déformation du champ de directeurs. Dans ce dernier cas, on parle de flexo-électricité. Détaillons ces deux mécanismes de polarisation.
Du fait de la polarisabilité des molécules, le milieu acquiert une pola-risation volumique induite en présence d’un champ électrique : ~ ~ ~ ~ (2.3) P = #0cE = #0 c?E + ca(~n E)~n où c est le tenseur de susceptibilité diélectrique du cristal liquide. Le ~ = #0 ~ ~ vecteur déplacement électrique D E + P vaut donc ~ ~ ~ (2.4) D=#0 #?E + #0 #a (~n E)~n avec #? = 1 + c? et #a = ca.
Les dipôles permanents portés par les molécules du cristal liquide peuvent aussi produire une polarisation volumique macroscopique à con-dition que leur orientation moyenne ne soit pas nulle. C’est généralement le cas lorsque le champ de directeurs est déformé en éventail ou courbé, cf. figure 2.3. Ce phénomène porte le nom de flexo-électricité. Par des ar-guments de symétrie, on peut montrer que la polarisation flexo-électrique vaut ~ ~ ~ (2.5) P = e1 (r ~n) ~n + e3 ~n r ~n où e1 est la constante flexo-électrique associée à une déformation en éven-tail tandis que e3 est associé à une déformation de flexion.
Le vecteur déplacement électrique vaut donc dans le cas général ~ ~ ~ ~ ~ (2.6) D = #0#?E + #0#a(~n E)~n + e1 (r ~n)~n + e3 ~n r ~n et la densité volumique d’énergie électrique R 0E D~ d~E s’écrit f elec´ = # 0 # # 0 # a (~n E) e 1 (~ ~n)(~n ~E) e 3 (~n ~ ~n) ~E dipolaires des molécules est nulle. b : apparition d’une polarisation spon-tanée lors d’une déformation en éventail. d : apparition d’une polarisation spontanée lors d’une déformation de courbure. [Mey69]
Table des matières
Introduction
1 État de l’art
1.1 Effet Lehmann thermique
1.1.1 La découverte
1.1.2 Théorie phénoménologique
1.1.3 L’expérience d’Éber et Jánossy
1.1.4 Le point de vue de Pleiner et Brand
1.1.5 Simulations numériques
1.1.6 Généralisation à d’autres couplages
1.2 Effet Lehmann électrique
1.2.1 Rotation des gouttes
1.2.2 L’expérience de Padmini et Madhusudana
1.2.3 Dérive des doigts cholestériques
1.2.4 Théorie de Tarasov et collaborateurs
1.3 Effet Lehmann chimique
1.4 Problématique de la thèse
2 Rappels sur les cholestériques
2.1 Ordre orientationnel
2.2 Anisotropie
2.3 Élasticité
2.4 Polarisation
2.5 Équation d’équilibre des couples
2.5.1 Couple élastique
2.5.2 Couple électrique
2.5.3 Couple visqueux
2.5.4 Couples du type Lehmann
2.5.5 Équilibre des couples
3 Caractérisation du mélange
3.1 Pas cholestérique
3.2 Constantes élastiques
3.2.1 Transition de Fréedérickz, cellule planaire parallèle
3.2.2 Transition de Fréedérickz, cellule planaire torsadée
3.2.3 Transition homéotrope-TIC
3.3 Constantes diélectriques
3.4 Indices optiques
3.4.1 Mesure de la biréfringence
3.4.2 Mesure des indices
3.5 Viscosité rotationnelle
3.6 Conductivité électrique
4 Effet Lehmann électrique ou flexo-électricité ?
4.1 Expérience de Padmini et Madhusudana
4.1.1 Principe et dispositif expérimental
4.1.2 Résultats de Padmini et Madhusudana
4.1.3 Mesures dans notre mélange
4.2 Confrontation aux différentes hypothèses
4.2.1 Effet Lehmann proportionnel à la torsion spontanée
4.2.2 Effet Lehmann proportionnel à la torsion réelle
4.2.3 Effet flexo-électrique
4.3 Expérience en géométrie torsadée d’un demi pas
4.3.1 Objectifs
4.3.2 Expérience
4.4 Conclusions
4.a Annexe : Transmission optique en géométrie déroulée
4.b Annexe : Transmission optique en géométrie torsadée
4.c Annexe : Instabilité périodique
5 Effet Lehmann thermique : mesures statiques
5.1 Expérience d’Éber et Jánossy
5.1.1 Principe et dispositif expérimental
5.1.2 Calcul du déphasage entre les deux ondes
5.1.3 Première mesure du coefficient Lehmann effectif
5.2 Expérience en géométrie planaire
5.2.1 Calcul du déphasage entre les deux ondes
5.2.2 Difficultés expérimentales
5.2.3 Seconde mesure du coefficient Lehmann effectif
5.3 Coefficient Lehmann
5.a Annexe : Calcul du déphasage mesuré
5.b Annexe : Effet de la convection
5.c Annexe : Calcul des incertitudes
6 Effet Lehmann thermique : mesures dynamiques
6.1 Ancrage glissant
6.1.1 Motivations
6.1.2 Protocole et caractérisation
6.2 Mesure directe à la température de compensation
6.2.1 Dispositif expérimental
6.2.2 Mesures
6.2.3 Valeur du coefficient Lehmann
6.3 Dérive des doigts cholestériques
6.3.1 Rappels sur les doigts cholestériques
6.3.2 Vitesse et sens de la dérive
6.3.3 Mesure de la vitesse de dérive
6.3.4 Estimation du coefficient Lehmann et conclusion
6.4 Rotation des gouttes cholestériques
6.4.1 Description de l’expérience
6.4.2 Mesure de la vitesse de rotation
6.4.3 Expression théorique de la vitesse de rotation
6.4.4 Estimation du coefficient Lehmann
Conclusion
A Table des grandeurs mesurées
B Transition de Fréedérickz dans les cholestériques
Bibliographie
