Distribution, fonction de répartition et densité

Ces moments n’apportent cependant qu’une information partielle sur les distributions des variables aléatoires. Celles ci sont complement définies par la distributions de probabilités. On ne revient pas ici sur les probabilités attachées à des univers fini(casdiscret): il ne sera ici question uniquement des univers infini dénombrables. Les distributions de variables aléatoires dans ce cadre sont approchées par la fonction de répartition et la densité des distributions. Définition 1.1.10 (Fonction de répartition). Soit X une variable aléatoire définie sur l’espace probabilisé (Ω,A,P). La fonction de répartition notée F de cette variable aléatoire X est la fonction de R dans R définie par : ∀a ∈ R,F(a) = P(X ≤ a) Une fonction de répartition a les caractéristiques suivantes : 1. F est monotone croissante sur R. 2. F est une fonction continue à droite en tout point de R. 3. limx→−∞F(x) = 0 et limx→∞F(x) = 1 Définition 1.1.11. Une fonction f est une densité de probabilité si et seulement si elle possède les trois propriétés suivantes : 1. f est positive sur R. 2. f est continue sur R, sauf peut ˆetre sur un ensemble fini de points D. 3. R∞ −∞ f(x)dx = 1. Notons qu’une densité n’est pas une probabilité : les conditions précédentes ne stipulent par exemple pas que f(x) ∈ [0;1], mais que f(x) est positive et que l’intégrale sur l’univers est égale à 1. En revanche, la densité est liée à la distribution par la fonction de répartition, dans la mesure ou` : P(X ≤ a) = F(a) =Za −∞ f(x)dx, ou` f est une densité de X. En effet, tout autre fonction g de R dans R, qui coincide avec f saufsurunensemblefinidepointsde R estaussiunedensitédeprobabilitéde X.
On ne propose pas revue des principales distributions, dans la mesure ou` il est aisé de trouver ces informations sur Wikipédia.

Loi conditionnelle et lemme des espérances itérées

Un aspect particulièrement important des distributions est la différence entre une distirbution non conditionnelle et conditionnelle. Très classiquement, on présente rapidement le cas discret avant de passer au cas continu.
Supposons que l’on ait affaire à un groupe d’individu composé d’hommes et de femmes, de bons et de mauvais élèves. On peut s’interesser à la probabilité de tirer au hasard un bon éléve au sein de cette population, mais on peut aussi s’intéresser au fait de tirer un bon éléve parmi les hommes. Il s’agit ici de la probabilité de tirer un bon éléve, sachant que l’on tire parmi les hommes. On parle dans ce cas de probabilité conditionnelle. On note : P(X ={tirer un bon éléve}| il s’agit d’un homme)