Echelle microscopique d’un composite renforcé en fibres de carbone

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Sollicitations conventionnelles et complexes

En fonctionnement, une pièce aéronautique est soumise à une large variété de sollicitations, dites conventionnelles ou complexes. Afin d’analyser et de modéliser le comportement d’un CRFC soumis à de telles sollicitations, celles -ci doivent tout d’abord être définies.
La différence entre une sollicitation conventionnelle et une sollicitation complexe n’est pas triviale. En effet, elle peut dépendre de son type, de sa vitesse, ou de l’échelle à laquelle elle est considérée. La définition proposée dans ces travaux de thèse est basée sur l’étude du taux de triaxialité macroscopique, défini comme le rapport de la pression hydrostatique sur la contrainte équivalente de von -Mises. Lorsque ce taux est compris entre 0 et 0,33 [Bao & Wierzbicki, 2004], la sollicitation est considérée conventionnelle. Au-delà de cette valeur (ou pour une valeur négative), la sollicitation est considérée complexe. Un fort taux de triaxialité peut être obtenu de deux façons : soit le moyen d’essai permet d’appliquer une sollicitation multiax iale macroscopique (traction-torsion ou traction biaxiale, par exemple), soit la géométrie de l’éprouvette est spécifique et permet de créer une concentration de contrainte
élevée, augmentant ainsi le taux de triaxialité. La première méthode nécessite par conséquent la réalisation d’essais mécaniques sur des machines complexes et coûteuses qui ne sont pas toujours disponibles dans le milieu industriel.
D’un point de vue industriel, la seconde méthode est généralement celle retenue. L’exemple le plus simple est celui de traction uniaxiale : lorsqu’une telle sollicitation est menée sur une éprouvette dont les dimensions sont normées, le taux de triaxialité est alors de 0,33 au cœur de l’éprouvette. A l’inverse, lorsqu’elle est menée sur des éprouvettes axisymétriques entaillées, le taux de triaxialité est d’au moins 0,4 et peut être voisin de 1. La philosophie de l’étude est basée sur une notion d’échelle de complexité : si la complexité du comportement d’un matériau anisotrope peut être caractérisée et modélisée localement, alors elle sera prise en compte dans un calcul sous sollicitations macroscopiques complexe. En revanche, la caractérisation et la modélisation d’une sollicitation macroscopique complexe, ne rend pas compte de l’hétérogénéité locale du comportement du matériau, menant à son comportement macroscopique.

Structure du manuscrit

Ce manuscrit se compose de trois parties relatives aux différentes échelles du matériau. Dans l’ordre logique, la démarche proposée débute à l’échelle des constituants et s’achemine vers la pièce de structure. Le but de l’étude est de plonger au cœur du matériau afin d’en comprendre les spécificités et de remonter jusqu’à la structure en proposant un modèle de comportement pouvant s’adapter à tout matériau composite renforcé en fibres courtes et au milieu industriel.
Bien que les résultats obtenus à chaque échelle soient directement injectés dans l’échelle suivante, chaque partie se veut indépendante. Elles contiennent chacune une démarche scientifique spécifique, constituée d’un plan, d’une bibliographie, d’un développement et de conclusions individuelles. Le choix d’une telle structure de manuscrit est motivé par la volonté de séparer les sujets, faisant parfois appel à des notions et techniques variées et généralement caractéristiques de chaque échelle : le lien se veut donc direct entre la théorie, les techniques expérimentales et la
modélisation. Cette thèse est donc composite, puisqu’elle est le fruit de la contribution de chaque partie, chaque échelle, s’imbriquant les unes aux autres afin de proposer une démarche multi-échelle complète.
La première partie se consacre aux constituants du matériau de l’étude. Le comportement de la matrice est identifié grâce à des essais conventionnels et complexes, qui lui permettent d’exprimer sa sensibilité à la pression hydrostatique, et par conséquent son comportement sous sollicitations multiaxiales. Dans cette démarche, son comportement élastoplastique est modélisé à l’aide d’un critère de Drucker-Prager généralisé, pour lequel une méthode d’intégration ( θ-méthode) est implémentée spécifiquement dans le code de calcul par éléments finis Z -set [Transvalor SA, 2015]. Ne disposant pas de fibres seules, le comportement linéaire de celle-ci est identifié par méthode inverse grâce aux essais mécaniques sur la matrice et sur le composite, à l’aide d’une méthode de calcul en champs moyens déjà existante sous Digimat-MF [E-Xstream, 2014]. La pertinence de cette identification est validée lors de la mise en place de la démarche d’homogénéisation proposée dans la dernière partie.
La seconde partie est dédiée à l’étude de la microstructure. Après un état de l’art de ses variabilités spécifiques, elle est étudiée grâce à des observations en microtomographie par contraste de phase. Cette technique, permettant une bonne distinction entre les fibres et la matrice, donne accès à la mesure de l’orientation tridimensionnelle des fibres et la dispersion de leurs longueurs. Une méthode de traitement des données par corrélation de cylindres est mise en place à ces fins. Pour faire suite à la première partie du manuscrit sur le comportement de la matrice, une mesure du confinement matriciel est proposée en étudiant la distribution de fraction volumique locale de fibres dans la microstructure. Le second chapitre de cette partie pose les premières étapes de la modélisation du matériau composite. Il traite de la génération d’une cellule élémentaire statistiquement représentative (CESR) du matériau unidirectionnel par éléments finis. Cette cellule est déterminée via la définition et l’application d’indicateurs du comportement global et de sa morphologie.
La troisième partie du manuscrit se consacre au changement d’échelle nécessaire à la modélisation d’un CRFC. Elle propose une démarche d’homogénéisation en deux étapes par le calcul en champs moyens, alimentée par les éléments finis (CESR). Après un rappel des principaux modèles micromécaniques et de l’intérêt d’une démarche en deux étapes pour les CRFC, une procédure est développée afin de réaliser le changement d’échelle numérique. Un système composé pa r un double-motif de Mori-Tanaka (direct et inverse) est d’abord homogénéisé à l’aide d’un modèle auto -cohérent. Cette première brique de la démarche, appelée « pseudo-grain », est calibrée grâce à la CESR et constitue le comportement effectif du composite unidirectionnel. A l’aide des données mesurées dans la seconde partie du manuscrit, un macro -système est ensuite constitué de plusieurs pseudo-grains, dont l’orientation et le facteur de forme est unique. Cet ensemble de briques élémentaires est enfin homogénéisé via un modèle de Voigt et constitue le comportement effectif du matériau de l’étude. La pertinence de cette démarche d’homogénéisation est ensuite étudiée afin de prédire le comportement du composite sollicité en traction à différents angles. Enfi n, elle est utilisée afin de prédire le comportement macroscopique et plus local d’un essai générant un fort taux de triaxialité local.
La dernière partie du manuscrit reprend l’ensemble des conclusions de chacune des échelles du matériau, de manière à les assembler et à les mettre en perspectives les unes par rapport aux autres. Une section finale propose des perspectives générales pour

Structure du manuscrit

chacune des échelles et permet également d’introduire les travaux complémentaires menés n’ayant pas été intégrés aux part ies techniques du manuscrit dans un souci de logique de la démarche.
Enfin, des résumés graphiques sont proposés à la fin de chaque partie. Ils visent à synthétiser de manière visuelle les travaux effectués, les résultats obtenus et leurs interactions dans et entre les différentes parties du manuscrit.
Les annexes du manuscrit sont destinées à le compléter mais n’ont pas été intégrées au corps technique de celui-ci afin de fluidifier sa lecture. Elles sont divisées selon l’ordre des parties. Dans l’annex e A, relative à la partie sur l’étude des constituants, le calcul complet de la matrice tangente du modèle élasto -viscoplastique de Drucker-Prager généralisé est explicité. L’annexe B, consacrée à l’homogénéisation du comportement du composite, donne les expressions du tenseur d’Eshelby dans le cas de milieux isotropes et isotropes transverses. Enfin, l’annexe C complète la calibration du modèle d’homogénéisation développé dans la dernière partie du manuscrit.
Dans l’ensemble du manuscrit, le comportement élastique du polymère (ou du composite) est appelé réversible linéaire. Il s’agit du domaine dans lequel la contrainte est proportionnelle à la déformation appliquée au matériau et ne génère aucune déformation permanente. Le comportement irréversible est comparable au comportement plastique des métaux, et concerne le domaine de comportement non – linéaire du matériau, dans lequel une déformation résiduelle permanente est générée après sollicitation. Le terme «irréversibilité » vise cependant à intégrer la dilatation « plastique » présente dans les polymères.

Table des matières

Introduction générale
1.1. Contexte et enjeux de l’étude
1.2. Généralités sur les matériaux composites
1.2.1. Composites à matrice organique : CMO
1.2.2. Composites renforcés en fibres courtes : CRFC
1.2.3. Le moulage par injection des CRFC
1.3. Spécificités du matériau étudié
1.3.1. Matrice PolyEtherImide
1.3.2. Fibres courtes de carbone
1.4. Démarche de modélisation multi-échelle retenue pour l’étude
1.4.1. Définition des échelles caractéristiques des CRFC
1.4.2. Sollicitations conventionnelles et complexes
1.5. Structure du manuscrit
1.6. Bibliographie
Partie 1 : Echelle microscopique d’un composite renforcé en fibres de carbone
2. Analyse et modélisation du comportement de la matrice PEI
2.1. Caractérisation expérimentale
2.1.1. Approche scientifique
2.1.2. Essais à faible taux de triaxialité
2.1.3. Essais à taux de triaxialité élevés
2.2. Modèles de comportement sensibles à la pression hydrostatique
2.2.1. Principaux modèles
2.2.2. Présentation du modèle retenu
2.2.3. Intégration explicite du modèle de comportement
2.3. Identification de la loi de comportement de la matrice PEI
2.3.1. Procédure d’identification itérative
2.3.2. Identification des paramètres pour trois formulations du critère
2.3.3. Récapitulatif de la loi de comportement identifiée
3. Détermination d’un comportement des fibres de carbone
3.1. Identification du comportement réversible linéaire du composite
3.1.1. Essais mécaniques sur le composite
3.1.2. Identification de la matrice de rigidité du composite
3.2. Identification inverse d’un comportement des fibres de carbone
3.2.1. Hypothèses de modélisation des fibres de carbone
3.2.2. Modèles d’homogénéisation par méthode inverse sous Digimat-MF
3.2.3. Identification de paramètres comportementaux des fibres
3.2.4. Identification des paramètres d’influence sur le comportement du composite
Conclusions de la partie
Résumé graphique de la partie
Bibliographie.
Partie 2 : Echelle mésoscopique d’un composite renforcé en fibres courtes carbone
4. Etude de la microstructure
4.1. Généralités sur les variabilités de la microstructure
4.1.1. Fraction volumique de fibres
4.1.2. Orientation des fibres dans la matrice
4.1.3. Géométrie des fibres courtes dans le matériau
4.1.4. Confinement matriciel : la proximité des fibres dans la microstructure
4.2. La tomographie aux rayons X
4.2.1. Principes fondamentaux
4.2.2. Tomographie en contraste de phase
4.2.3. Analyse d’image, segmentation et labélisation des fibres de carbone
4.2.4. Traitement des données segmentées et labélisées
4.3. Caracterisation expérimentale de la microstructure
4.3.1. Détermination de la fraction volumique
4.3.2. Traitement des données brutes avec la corrélation de cylindres
4.3.3. Détermination de l’orientation des fibres
4.3.4. Détermination de la longueur des fibres
4.3.5. Une mesure du confinement matriciel : la fraction volumique locale
4.4. Synthèse de la caractérisation de la microstructure
5. Définition d’une cellule élémentaire statistiquement représentative : CESR
5.1. Approche scientifique
5.1.1. Chaine de génération des cellules
5.1.2. Hypothèses de modélisation
5.1.3. Génération des cellules sous Digimat-FE
5.1.4. Maillage des cellules sous Abaqus-CAE
5.2. Calcul des propriétés effectives des cellules sous Z-set
5.2.1. Définition des conditions aux limites pour les maillages non-coïncidents
5.2.2. Calcul des matrices de rigidité des cellules
5.3. Détermination des indicateurs de choix de la CESR
5.3.1. Indicateur du niveau d’isotropie transverse des cellules
5.3.2. Indicateur de la performance des cellules
5.4. Détermination d’une CESR du comportement effectif global
5.4.1. Etude de l’indicateur d’isotropie transverse des cellules
5.4.2. Etude de l’indicateur de performance des cellules
5.4.3. Choix d’une potentielle CESR
5.5. Etude de la proximité des fibres dans les cellules
5.5.1. Définition de l’indicateur local
5.5.2. Influence de la morphologie des cellules sur leur comportement global
5.6. Intégration du confinement matriciel réel dans le choix de la CESR
5.6.1. Démarche numérique et reconstruction de cellules spécifiques
5.6.2. Le test de Kolmogorov-Smirnov
5.6.3. Définition de cellules intégrant la microstructure réelle
5.6.4. Indicateur local et distribution de fraction volumique locale
Conclusions de la partie
Résumé graphique de la partie
Bibliographie
Partie 3 : Echelle macroscopique d’un composite renforcé en fibres courtes de carbone
6. Généralités sur l’homogénéisation des composites renforcés en fibres courtes
6.1. Homogénéisation des matériaux hétérogènes
6.2. Approche à bornes variationnelles
6.2.1. Bornes de Voigt et Reuss
6.2.2. Bornes d’Hashin-Shtrikman
6.3. Approches estimatives
6.3.1. Problème d’Eshelby
6.3.2. Modèle d’Eshelby en solution diluée
6.3.3. Modèle de Mori-Tanaka
6.3.4. Modèle de Lielens
6.3.5. Modèle auto-cohérent
6.3.6. Extension à l’estimation du comportement non-linéaire
6.4. Approches numériques
6.4.1. Méthodes d’analyse par champs de transformation
6.4.2. Méthodes d’analyse par champs de transformation non-uniformes
6.4.3. Méthodes par transformation de Fourier
6.5. Synthèse des méthodes d’homogénéisation
6.6. Intégration de l’orientation des fibres
6.6.1. Homogénéisation en deux étapes conventionnelle
6.6.2. Retour sur les tenseurs d’orientation
7. Homogénéisation du PEI renforcé en fibres courtes de carbone
7.1. Démarche de modélisation
7.1.1. Principe du modèle à double-motif
7.1.2. Modèle de Mori-Tanaka incrémental
7.1.3. Modèle auto-cohérent incrémental
7.2. Homogénéisation du comportement unidirectionnel du composite
7.2.1. Comportement irréversible de la CESR
7.2.2. Calibration du modèle à double-motif
7.2.3. Comparaison du modèle sous sollicitations complexes
7.2.4. Effet de la morphologie des cellules sur le modèle à double-motif
7.3. Homogénéisation du comportement macroscopique réversible
7.3.1. Intégration de l’orientation des fibres courtes
7.3.2. Intégration de la distribution de longueur des fibres courtes
7.4. Homogénéisation du comportement macroscopique irréversible
7.4.1. Traction irréversible pour des angles intermédiaires
7.4.2. Traction sur éprouvette axisymétrique entaillée
Conclusions de la partie
Résumé graphique de la partie
Bibliographie
Conclusions et perspectives
Rappel du contexte et des enjeux de l’étude
Conclusions par échelles
Perspectives
Bibliographie
Annexes
Annexe A
Ecriture du modèle de comportement de la matrice PEI
Calcul de la matrice Jacobienne
Validation de l’implémentation du modèle de comportement de la matrice PEI
Expression numérique de la matrice de rigidité identifiée
Annexe B
Expressions du tenseur d’Eshelby en milieu isotrope et isotrope transverse
Annexe C
Calibration complète du modèle à double-motif
Effet de la morphologie des cellules sur le modèle à double-motif
Bibliographie.