Dynamique des Fluides Parfaits

Les équations de la dynamique des fluides sont souvent utilisées sous une autre forme. On considère la trajectoire d’une particule se déplaçant à une vitesse V, de composantes u, v, w à l’instant t, ces composantes sont fonction de x, y, z et t.L’équation d’Euler associée à l’équation de continuité forme un système de quatre équations à quatre inconnues. Nous nous intéressons dans ce paragraphe aux conditions aux limites qui peuvent être associées à ces équations.On appelle surface libre l’interface entre deux fluides. Le long de cette surface la pression est constante et la composante normale de la vitesse doit être continue.Le long d’une ligne de courant, l’expression précédent est donc constante, l’intégrale pouvant se calculer si on connaît la relation liant et p.Si les forces de volume se réduisent aux seules forces de gravité, on remplacera U par gh. Si, en outre, est constant (fluide incompressible), le calcul de l’intégrale est immédiat et on trouve soit :est l’énergie cinétique de l’unité de volume du fluide. Alors que représente l’énergie potentielle de l’unité de volume de fluide dans le champ de pesanteur et sous la pression p.

La somme correspond donc à l’énergie mécanique totale de l’unité de volume de fluide et l’équation de Bernoulli traduit la conservation de cette énergie mécanique totale au cours du mouvement (permanent). Pour un tel écoulement, le principe de la conservation de l’énergie se confond avec l’intégrale des équations dynamiques. On doit donc pouvoir retrouver le même résultat en étudiant directement les échanges énergétiques d’une particule avec l’extérieur. Considérons en effet, en régime permanent, un filet de courant infiniment étroit ABCD (voir figure). Les quantités p, et V sont constantes dans une même section d’aire S situé à la hauteur h. pendant le temps dt la masse de fluide contenue dans ABCD passe en A’B’C’D’, mais l’énergie mécanique contenue dans la partie commune A’B’CD n’a pas changé. Du point de vue énergétique tout se passe comme si, pendant le temps dt, la masse contenue dans ABB’A’ passait directement en DCC’D’.L’expression représente l’énergie mécanique totale contenue dans l’unité de volume de fluide, c’est donc le travail mécanique total que la particule est susceptible de fournir.

D’une manière générale l’énergie peut se présenter sous différents aspects : mécanique, calorifique, électrique, chimique, etc…, mais en ce qui concerne l’énergie mécanique, elle se présente ici sous trois formes : énergie de position, énergie de pression et énergie cinétique. Les deux premières formes constituant l’énergie potentielle.Un orifice non noyé est un orifice par lequel un fluide sort d’un récipient à l’air libre. Ainsi, la pression est à la sortie de l’orifice est la pression atmosphérique. Considérons un réservoir contenant un liquide incompressible; celui-ci sort du réservoir par un petit orifice, non noyé. On observe, à la sortie de l’orifice, que le jet présente une section contractée S’=αS plus faible que la section S de l’orifice, où les lignes de courants sont parallèles et pratiquement rectilignes. Pendant un instant Δt court, on peut négliger la variation de niveau de la surface libre. On peut donc affirmer que l’écoulement pendant cet intervalle est permanent.Un orifice noyé est un orifice «sous l’eau » par lequel un fluide s’écoule d’un réservoir 1 dans un réservoir 2.

La pression dans le jet à la sortie de l’orifice est alors la pression hydrostatique dans le second réservoir Considérons un point A à la surface du réservoir 1, un point C à la surface du réservoir 2 et un point B dans le jet fluide passant du réservoir 1 au réservoir 2 On peut tout d’abord écrire.Gaz dans une enceinte close à la pression Pa s’écoulant vers l’extérieur (patm) par un orifice On néglige les forces de pesanteur et on suppose le gaz incompressible. L’équation de Bernoulli amène à une vitesse V dans l’orifice :A l’interface entre cette cavité et l’écoulement, il y a du fait de cette hypothèse, une brusque variation de vitesse mais on admet qu’il n’y a pas de discontinuité de pression. Ainsi, une prise de pression dans cette cavité permet de mesurer la pression du fluide au repos. C’est donc la pression statique du fluide. Considérons une conduite dans laquelle circule un fluide parfait Supposons que l’écoulement dans ce tube est tel que les lignes de courant sont des droites parallèles aux génératrices de la conduite. On rappelle que (3.1., cas particuliers) dans une section droite perpendiculaire aux lignes de courant, la pression suit les lois de la statique Ainsi, dans une section on