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ÉTUDE D’UN ENDOMORPHISME BIDIMENSIONNEL DE TYPE Z0 − Z2
Introduction
Dans ce chapitre, nous étudions la transformation T de type couplé. Nous nous intéressons à l’étude des bifurcations des ensembles invariants. Nous fournissons des preuves numériques et montrons certains mécanismes associés à l’apparition et disparition des courbes invariantes fermées.
L’étude se fera en trois étapes. La première étape est consacrée à l’étude des singularités pour des non linéarités de type pair n = 2k avec k = 1, 2, …. Dans la seconde étape, les premières courbes de bifurcation pour n = 2 sont données explicitement ainsi que les structures de bifurcation pour n pair. La dernière étape de ce chapitre portera sur le tracé des lignes critiques, les attracteurs et les droites invariantes, le but étant d’étudier les bifurcations de bassins d’attraction.
Simulation du plan des paramètres
Le domaine de stabilité pour la récurrence Ta,b,n peut être construit numériquement, en utilisant une méthode de balayage du système. Le résultat du programme de balayage est représenté sur les Figures (2.1) dans le plan paramétrique (a, b), nous donnons ici l’existence des cycles attractifs de la transformation Ta,b,n.
Nous remarquons des bifurcations dans le plan paramétrique (a, b), le balayage montre clai-rement les domaines d’existence de cycles d’ordre k ; k = 1, 2, …, 14. Chaque couleur est attribuée à un attracteur d’un certain ordre. Les frontières de ces domaines représentent les courbes de bifurcations telles que les attracteurs apparaissent pour un multiplicateur S = +1 ou S = −1.
Dans les Figures (2.1) nous avons le code des couleurs :
• Les zones bleues représentent les valeurs des paramètres pour lesquelles il existe un point fixe attractif.
• Les zones vertes représentent les zones d’existence d’un cycle attractif d’ordre 2.
• Les zones rouges représentent les zones d’existence d’un cycle attractif d’ordre 4.
• Les zones roses représentent les zones d’existence d’un cycle attractif d’ordre 8, ainsi de suite pour les cycles jusqu’à k = 14.
• Les zones noires correspondent aux valeurs de paramètre (a, b) pour lesquelles il existe des itérées bornées (cycles d’ordre k (k ≽ 15), un attracteur étrange, ou une courbe invariante fermée). C’est dans ces zones que peuvent être observés les phénomènes chaotiques.
Les Figures (2.1) représentent les structures de bifurcations pour n un entier pair. On re-marque des pertes des cycles quand la valeur de n augmente, la zone noire diminue et devient complètement bleue.
Nous remarquons aussi la disparition de la symétrie de deux zones bleues.
Les Figures (2.2) présentent l’agrandissement des zones noires des Figures (2.1).
Les courbes de bifurcations
Dans cette section, nous portons un intérêt particulier dans notre étude sur les bifurcations jouant un rôle important dans la dynamique, celles se produisant pour a ≠ 0 et b ≠ 0. Nous pouvons facilement énoncer ce qui suit.
Proposition 2.3.1 Si b = a − 1, alors O (0, 0) est le point fixe unique de la transformation définie par (2.1) . La courbe paramétrique Λ(1)0 : b = a − 1 est la courbe de bifurcation transcritique telle que les deux points fixes O et P existent et sont symétriques par rapport à la courbe paramétrique Λ(1)0.
Proof. Considérons le changement de variable qui déplace le point P pour coïncider avec l’origine comme suit :
x = x∗ + (1 + b − a)
y = y∗ + (1 + b − a)
• Si 1 + a + b = 0 nous avons x1 = x2 = 0, cette droite de bifurcation flip Λ1 est associée avec le point fixe O (0, 0) .
• Si 1 + b − 3a = 0 nous avons x1 = x2 = 2a, cette droite de bifurcation flip Λ′1 est associée avec l’autre point fixe P (1 + b − a, 1 + b − a).
Nous remarquons que les deux courbes Λ1 et Λ′1 sont clairement visibles sur la Figure 2.1(a). Proposition 2.3.4 La transformation T subit des bifurcations de Neïmark-Hopf au point fixe O (0, 0) pour a = 2 cos (αk) et b = 1 avec αk = 2kπ , k ∈ N.
Proof. Nous obtenons les valeurs de paramètre liées aux bifurcations de Neïmark-Hopf pour le point fixe O (0, 0) de type foyer en posant S1 = exp (iαk) et S2 = exp (−iαk) avec αk = 2kπ , k ∈ N
Proposition 2.3.5 La droite paramétrique b = 2a−3 est la symétrique de la droite ∆ : b = 1
par rapport à la droite Λ(1)0 : b = a − 1. Cette droite ∆′ : b = 2a − 3 est associée au point fixe P et joue un rôle identique à celui de ∆ qui est associée au point fixe trivial O pour les bifurcations globales.
Proof. Avec un calcul simple, nous obtenons cette droite.
Bassins et courbes invariantes
Nous présentons quelques résultats de simulations numériques et discutons de leurs im-plications.
Rappelons que le bassin d’attraction d’une singularité stable est l’ensemble des points dont la suite des itérations converge vers cet ensemble attractif. Sa frontière possède quelques propriétés, telles que l’invariance par T n et T −n, n = 1, 2, …, elle est séparatrice et elle est constituée d’arcs de courbes invariantes issues de points cols et par leurs antécédents ou des points fixes ou cycles répulsifs.
De la figure (2.3(a)), nous avons quatre points (a = 2, b ≃ 1), (a = −2, b ≃ 1), (a = −2, b ≃ −6.9) et (a = 0, b ≃ −1) qui sont des points de bifurcation de codimension supérieure ou égale à 2. Rappelons qu’un point X est un point de bifurcation de codimension-2, si ce point est le point d’intersection d’une courbe de bifurcation fold et une courbe de bifurcation flip. Por-tons notre attention sur les bifurcations qui se produisent autour de ces points.
Quand on fait varier les paramètres autour de a ≃ 2 (voir Figures 2.4(a) et 2.4(b)) et a ≃ −2 dans les Figures 2.5(a) et 2.5(b) pour b ≃ 1.
Puisque b ≻ 0, le point fixe O est stable, l’intérieur de son bassin d’attraction subit une bifurcation de Neïmark-Hopf et une petite courbe fermée apparait à l’intérieur du bassin, avec une variété stable fermée au point col P .
Les Figures précédentes montrent la structure de bassin correspondante de T pour n = 2. Les Figures 2.4, 2.5, 2.6 et 2.7 représentent les attracteurs existants (les deux points fixes O, P , une courbe fermée invariante (CF I) autour du point fixe O après la bifurcation de Neïmark-Hopf) et la variété stable émanant du point col P . Sur la Figures 2.4 a ≃ 2 et b ≃ 1 (S1 = S2 = 1), les deux points fixes existent, P est un col et sa variété invariante stable délimite le bassin de O qui subit une bifurcation Neïmark-Hopf lorsque a croit de 1.7 à 1.9. Les deux courbes sont fermées et invariantes. Sur la Figure 2.5, a ≃ −2 et b ≃ 1 (S1 = S2 = −1), le point fixe O, subit la bifurcation flip Λ1 (1 + b + a = 0) et le cycle-2 entourant O devient instable donnant encore une CF I. Sur la Figures 2.7 et pour n = 4 nous avons presque le même comportement avec des courbes invariantes associées avec les points fixes. Nous observons de petits changements dans l’emplacement de la courbe critique LC−1 qui a des effets sur les propriétés des attracteurs, et peut causer de notables asymétries dans la structure des bassins, qui ne peuvent être détectées qu’à partir des propriétés du modèle étudié.
Les droites invariantes
D’autres ensembles invariants pour n = 2 (et même pour n pair) peuvent être estimés pour T 2. Ces ensembles invariants sont obtenus par itération des droites invariantes sur la frontière du bassin immédiat. Le cas a = −2 est très intéressant, car on peut mettre en évidence l’existence de tels ensembles. Le caractère spécial de ce type d’ensembles a déjà été observé dans les endomorphismes découplés.
Pour illustrer cette idée, on pose L1 : y2 = αx2 + β, x2 et y2 sont les deuxièmes itérations de x et y. On obtient alors : a ay − bx + x2− by + y2 = α ay − bx + x2 + β(2.35)
Si nous prenons β = 0, nous avons L2 : y = 0, L3 : y = x. Outre les éléments vus jusqu’à présent, il existe une autre particularité dans la dynamique de T. La forte dépendance vis-à-vis des paramètres engendre une grande variété de phénomènes complexes dans le plan et donne lieu à différents types de bassins. Compte tenu de la complexité de la matière et de sa nature, l’étude de ces phénomènes ne peut être réalisée que par l’association d’investigations numériques guidées par des considérations fondamentales qui se retrouvent dans [28].
Bifurcations de bassins produites par la variation du paramètre b
Les attracteurs constituent un ensemble intéressant d’études par eux-mêmes. Leurs bas-sins d’attraction sont divisés en deux parties égales par LC−1.
Pour comprendre le comportement de l’application quand a est proche de −2, nous suivons l’évolution dans le plan de phases quand on fait varier le paramètre b (b ≈ −5.87, b = 0.95) . Toutes les situations qui vont suivre, ont été publiées dans [7] proposé par Djellit, Fakroune et Selmani, pour une grande variété de modèles non linéaires. Dans la plupart des applications, le bassin d’attraction subit quelques modifications. La structure géométrique du bassin se produit pour des choix particuliers des paramètres.
Des travaux récents traitant de cas d’attracteurs multiples dans l’application non-inversible ont montré que peut devenir une source de bifurcations donnant des structures complexes pour les bassins d’attraction. Cependant, les phénomènes globaux et les structures complexes des bassins illustrés ici sont dus aux deux ensembles critiques et invariants.
Considérons le paramètre b proche de la valeur −5.9 et varions a, on a les situations sui-vantes : Figure 2.8 – Bassin connexe et bifurcation de contact de la courbe fermée et la courbe critique LC
Pour a = −2 et b = 2, les courbes critiques LC−1, LC, LC1 et LC2 délimitent l’attracteur qui occupe tout le bassin. Les lignes invariantes de T et T 2 respectivement (y = x et y = −x + 1) contiennent des points fixes (0, 0) et (5, 5) pour y = x et les deux points de cycle-2 {(2, −1) ; (−1, 2)} pour y = −x + 1 (voir la Figure 2.13 ).
Considérons maintenant le paramètre a = 0.96 et varions b . Pour b = 1.13 et b = 1.25, le bassin est simplement connexe, le point fixe P de type col appartient à la frontière du bassin d’attraction. Une courbe fermée invariante (CFI) est née de la déstabilisation du point fixe foyer O via une bifurcation de Neïmark-Hopf (voir Figure 2.14 et Figure 2.15). Pour b = 1.5 un attracteur chaotique annulaire (voir Figure 2.16 et Figure 2.17).
DYNAMIQUE COMPLEXE D’ENDOMORPHISMES POLYNOMIAUX DE NON LINÉARITÉ IMPAIRE
Introduction
Ce chapitre est organisé comme suit : la première partie décrit certaines propriétés par-ticulières du modèle pour des non linéarités impaires, leur dépendance aux paramètres et la stabilité des points fixes et des attracteurs. Le comportement qualitatif et les bifurcations sont examinés dans une sous-section en utilisant une théorie qualitative et la théorie standard des bifurcations. Dans la deuxième partie, nous mettons en évidence le rôle des courbes inva-riantes et de quelques cas où les bifurcations peuvent conduire à la création de bassins fractals et provoquer des changements qualitatifs dans la structure du domaine lorsque les paramètres sont modifiés. Enfin, nous terminerons avec quelques illustrations de bassins fractals et les courbes critiques.
LE MODÈLE
Le modèle
Reprenons le système (2.1) avec des non linéarités impaires n = 2k + 1, k = 1, 2, … et étudions la dynamique et les mécanismes qui induisent les variations principales relatives aux attracteurs et leurs bassins.( y′ = ay′ = Ta,b,n(x, y) : bx + xn xy)
Premièrement, il suffit de montrer le schéma représentatif de ce système pour n = 3 fournis-sant ainsi des informations sur la région de stabilité pour le point fixe de base (domaine bleu dans la Figure (3.1)) et la région d’existence des cycles d’ordre k.
La Figure 3.1 représente le diagramme de bifurcation, comme le chapitre 2, de T dans le plan des paramètres (a, b). On peut voir des régions d’attraction de k- cycles d’ordres différents (k ≤ 14) issus des courbes de bifurcation (ordres différents sont représentés avec des couleurs différentes), et il est connu que les ordres suivent la règle de sommation de Farey standard. Les régions noires (k = 15) correspondent à l’existence de séquences itérées bornées com-prenant un comportement chaotique. La zone blanche correspond aux séquences itératives divergentes dans l’espace des phases.
La Figure 3.1 représente les structures de bifurcations pour n impair. Nous remarquons des pertes de cycles quand la valeur de n augmente (n ∈ N et n impair), la zone noire diminue et devient complètement bleue.
Nous pouvons observer des caractéristiques intéressantes et des schémas dynamiques com-plexes lorsque les régions de stabilité des points fixes et des cycles sont mises en évidence. Le but de cette étape est de sélectionner l’ensemble des ”bonnes valeurs” de paramètres suscep-tibles de garantir des situations intéressantes. Nous commençons nos recherches pour n = 3, dans l’espoir que ces propriétés seront transmises à n = 2k + 1, k > 1.
Ce modèle peut produire des dynamiques régulières et / ou chaotiques. De la Figure 3.2(a), nous pouvons tirer la conclusion suivante :
• Pour b > 1 et −2 < a < 2, dans la zone noire, différents k-cycles peuvent coexister.
• Pour 1 < b < 1.84 et a = −1, un cycle d’ordre- 3 peut coexister avec une courbe invariante fermée.
• Pour 1 < b < 2 et a proche de 0, deux cycles d’ordre-4 coexistent.
• Pour 1 < b < 1, 84 et a = 1, nous avons un cycle d’ordre-6.
La dynamique périodique, provoquée par les verrouillages de fréquence qui se présentent sous forme de ”régions colorées” de langues d’Arnold étroites d’ordres ≤ 14, est représentée en touchant la courbe de bifurcation de Neïmark-Hopf b = 1.
(a) n=3 (b) n=5
(c) n=7 (d) n=9
(e) n=11 (f) n=13
Figure 3.1 – Les structures de bifurcations pour n impair
(a) n=3 (b) n=5
(c) n=7 (d) n=9
(e) n=11 (f) n=13
Figure 3.2 – Agrandissement des zones noires pour n impair
Points fixes et courbes critiques
Considérons le système dynamique Ta,b,3 défini par : T : ( y′ = ay′ = bx + x3 (3.1) xy
Les points fixes de cette récurrence sont des solutions obtenues par une manipulation triviale de (3.1) avec x′ = x et y′ = y. Outre la solution triviale (0; 0) qui existe toujours deux points fixes supplémentaires si b ≥ −1 + a.
Nous devons concentrer notre attention sur les bifurcations jouant un rôle important dans la dynamique, celles se produisant pour −2 ≤ a ≤ 2 et −1 ≤ b ≤ 3. Nous pouvons énoncer les propositions suivantes :
Proposition 3.2.1 Si a = 0 et b + 1 > 0,deux autres points fixes symétriques P1 et P2 peuvent exister √ √ √ √ P1 = ( b + 1, b + 1) et P2 = (− b + 1, − b + 1)
Pour −2 ≤ a ≤ 2 et b + 1 − a > 0, deux autres points fixes symétriques P1 et P2 peuvent exister √ √ √ √ P1 = ( b + 1 − a, b + 1 − a) et P2 = (− b + 1 − a, − b + 1 − a)
La courbe paramétrique Λ(1)0 : b = a − 1 correspond à la courbe de la bifurcation fourche.
Pour a = 0, T 2 est une transformation découplée (pour plus de détails voir les références [25] et [28] et chapitre 4). Mira et al. ont montré qu’une dynamique complexe peut émerger de l’itération des transformations découplées caractérisées par la multistabilité.
Table des matières
Introduction
1 Notions Générales sur les Systèmes Dynamiques
1.1 Introduction
1.2 Définitions de base
1.3 Système dynamiques discrets et singularités
1.3.1 Singularités
1.3.2 Stabilité des singularités
1.3.3 Ensembles stable et instable
1.4 Bifurcations fondamentales
1.4.1 La bifurcation fold (Noeud-col)
1.4.2 Cas particuliers de la bifurcation Fold
1.4.3 La bifurcation flip (doublement de période)
1.4.4 La bifurcation de Neïmark-Hopf
1.5 Bifurcations Homoclines et Hétéroclines
1.6 Plan de phases d’une transformation non inversible
1.6.1 Les variétés critiques
1.6.2 Attracteurs et attracteurs chaotiques
1.6.3 Bassin d’attraction
1.6.4 Bifurcation des bassins d’attraction
2 Étude d’un endomorphisme bidimensionnel de type Z0 − Z2
2.1 Introduction
2.2 Description de la récurrence
2.2.1 Les points fixes
2.3 Étude du plan des paramètres
2.3.1 Simulation du plan des paramètres
2.3.2 Les courbes de bifurcations
2.4 Étude générale pour n = 2k, k = 1, 2, ..
2.5 Étude du plan de phases
2.5.1 Les lignes critiques de T
2.5.2 Les déterminations inverses de T
2.5.3 Bassins et courbes invariantes
2.6 Bifurcations de bassins produites par la variation du paramètre b
3 Dynamique complexe d’endomorphismes polynomiaux de non linéarité impaire
3.1 Introduction
3.2 Le modèle
3.2.1 Points fixes et courbes critiques
3.3 Courbes invariantes et inverses
3.3.1 Courbes invariantes et structure de bifurcation
3.4 Évolution de bassins
4 Étude d’un endomorphisme découplé T
4.1 Introduction
4.2 Propriétés générales d’une transformation découplée
4.2.1 Les cycles de T générés par une bifurcation fold où une bifurcation flip d’un cycle de F
4.3 Étude de l’endomorphisme quadratique T pour a = 0
4.3.1 Points fixes de T
4.3.2 Bassin d’attraction et les cycles de T
4.3.3 L’architecture des cycles
4.3.4 Les ensembles critiques
4.4 Étude d’un endomorphisme cubique découplé T
4.4.1 Les points fixes de f3
4.4.2 Le cycle deux de f3
4.4.3 Bassin d’attraction et les cycles de T
4.4.4 L’architecture des cycles
Conclusion
Bibliographie
