Distribution en parallèle

APPROCHE DISCRÈTE

Ceux-ci sont en effet rarement constitués de pores de section constante, et sont plutôt l’objet de discontinuités de type étranglement ou encore « coude ». Nous définissons ainsi une première catégorie de distribution, dite en série. Nous envisagerons une seconde où les pores ont des caractéristiques (physiques et acous­tiques) différentes. Nous parlerons alors de distribution en parallèle. Une approche similaire a été adoptée par Champoux et Stinson [Champoux et a!., 1992] qui définissent des fonctions complexes de densité et de compressibilité à l’échelle microscopique d’un conduit élémentaire et d’un pore, puis les généralisent à l’échelle macroscopique du milieu poreux en suppo­sant que tous les pores sont identiques et que les effets associés aux discontinuités sont négligeables. Ces quantités sont sensées qualifier et quantifier complètement les propriétés acoustiques de milieux poreux. Ces auteurs proposent ainsi une formulation des paramètres caractérisant physiquement le milieu poreux qui prend en compte les changements de section le long du pore. Ils supposent alors que la pression est constante lorsque l’équation de continuité est intégrée (Hypothèse Hl) et que le débit acoustique n’est pas modifié lorsque l’on considère l’équation du mouvement (Hypothèse H2). Ces hypothèses appliquées à l’échelle du pore, nous conduisent à introduire deux paramètres supplémentaires sensibles aux changements de section.

Notre approche s’inspire de cette modélisation. Nous ne travaillerons toute­ fois que dans le régime des hautes fréquences où l’épaisseur de la couche limite visqueuse est inférieure aux dimensions transversales du pore. Nous considérons toutefois de grandes longueurs d’onde devant les dimensions caractéristiques du pore, Le problème est exprimé en terme de matrices de transfert reliant les pres­sions et vitesses moyennes de part et d’autre du matériau poreux. En utilisant un développement en puissance de (k0 Ep)1^2 (k0 — UJ/C0 est le nombre d’onde et Ep  l’épaisseur du milieu poreux que l’on désire étudier), nous parvenons à enrichir l’approche de Champoux en tenant compte de l’influence des discontinuités et en introduisant deux paramètres supplémentaires qui caractérisent non seulement les changements de section, mais également l’ordre selon lequel les conduits élé­mentaires sont distribués. Nous montrons également que les hypothèses Hl et H2 ne sont plus valables au second ordre lorsque qu’elles s’appliquent à l’échelle d’un pore. Ces propos seront développés pour le modèle en série. Dans un premier temps, nous tacherons de définir la matrice de transfert d’un pore tortueux (§2.1). Celle-ci est obtenue en calculant pour chaque conduit élémentaire une matrice de transfert microscopique, par une intégration des équations de continuité et du mouvement sur le volume correspondant. Les discontinuités sont représentées de la même manière. La matrice recherchée est alors donnée par le produit des matrices élémentaires.

Une démarche similaire sera adoptée pour la distribution en parallèle où nous considérerons des pores de natures différentes (§2.3). Nous utiliserons une for­mulation en terme de matrices d’admittances qui se prêtent mieux à ce type de problème. Nous travaillerons dans l’esprit de l’approche Champoux&Stinson en appliquant les propriétés Hl et H2 à l’échelle du pore et parvenons ainsi à généraliser les écritures des paramètres caractérisant le milieu poreux. Dans ces conditions, nous obtenons une expression de l’impédance de surface pour un ré­gime fréquentiel large. Le pore tortueux est assimilé à une série de M conduits droits dont la section peut varier de manière aléatoire. En raison de la faible influence de la forme du pore, nous supposerons que toutes les sections sont circulaires pour nous limiter uniquement à l’influence des changements de dimensions transversales. Par la suite, pour toutes les quantités associées à un conduit élémentaire droit, nous affecterons un indice j et noterons Sj et AZJ respectivement la section et la longueur correspondante.  Nous donnerons dans un premier temps l’écriture de la matrice de transfert associée à un conduit élémentaire et à une discontinuité pour les généraliser à l’échelle d’un pore. Ces expressions seront proposées pour le régime des basses et hautes fréquences. Les résultats obtenus seront étendus à l’échelle macrosco­pique du matériau dans la section suivante où nous tacherons de retrouver des paramètres classiques et d’en introduire de nouveaux associés aux discontinuités.