Discussion sur le choix de la transformation

Discussion sur le choix de la transformation

Comme cela a été signalé précédemment, le choix du domaine E et de la transformation T ont une influence sur la qualité de la solution numérique. Concernant le choix du domaine E, on prend en pratique le domaine E défini par (2.7) qui correspond à la réalisation moyenne du domaine D. L’explication de ce choix est le suivant : Si on considère une transformation discrète Tdis, elle est équivalente à une déformation de maillage où les nœuds du maillage du domaine E se déplacent en gardant la même connectivité. Le maillage sur D issue de la transformation Tdis est conforme. Le choix le plus adéquat pour le domaine E est celui qui conduit à une déformation minimale sur D du maillage. Le choix de E comme la réalisation moyenne (géométrie nominale) du domaine intial D semble intuitivement une bonne solution. Pour essayer d’évoluer en vue de limiter l’impact de l’erreur numérique sur la solution obtenue par la méthode de transformation, nous allons dans la suite montrer les limitations introduites par l’utilisation d’une transformation discrète et proposer un estimateur d’erreur a priori. Dans cette partie, l’exemple présenté dans la partie 2.1.3.1 est repris pour comparer les transformations continue et discrète. Le domaine E présenté sur la Figure 50 est utilisé comme domaine de référence. Le problème initial était un domaine D avec une perméabilité constante. Le problème est résolu dans le domaine de référence où la perméabilité n’est plus uniforme. Puis, la solution est ramenée sur le domaine initial par (2.54). Rappelons que le champ solution doit être uniforme sur tout le domaine D (2.52).

Cette discontinuité est équivalente à une utilisation d’un maillage non conforme au niveau des interfaces des matériaux. Comme cela a été abordé dans la partie 1.4.1.3, l’utilisation d’un maillage non conforme au niveau des interfaces donne lieu à une erreur numérique importante. En effet, on voit sur la Figure 54 que le champ magnétique obtenu dans le domaine D présente une erreur localisée autour du segment OA (correspond à OA’ dans le domaine E). Les perméabilités µ’1 et µ’2 prennent la forme (2.60). En conséquence, il n’existe pas d’éléments traversés par OA’ et la perméabilité est alors continue dans chaque élément. Cette fois, on obtient un champ qui est bien uniforme sur D : Sur la Figure 60, nous avons représenté la différence entre le champ calculé en utilisant la transformation 3 et le champ exact. On constate néanmoins l’apparition d’un écart. La transformation 3 conduit donc à un champ de moins bonne qualité que le champ obtenu par la transformation 2 ou une transformation discrète (2.1.3.1). Ce phénomène peut être expliqué par le fait que la matrice jacobienne de la transformation 3 n’est pas constante dans chaque élément ce qui est le cas pour la transformation discrète et la transformation 2. En conséquence, la méthode de quadrature utilisée pour calculer les coefficients de la matrice de raideur (2.46) introduit des erreurs numériques dans le cas de la transformation 3. Avec l’utilisation d’une transformation continue, dans un problème 2D, il existe toujours une façon de diviser de manière efficace le domaine étudié en plusieurs sous domaines pour éviter toute discontinuité de la matrice jacobienne sur chaque élément. Par contre, pour un problème 3D ce n’est pas toujours évident. Dans le cas où le problème de discontinuité de la matrice jacobienne ne peut pas être résolu, une transformation discrète peut être utilisée. Rappelons qu’avec l’utilisation de la transformation discrète, la matrice jacobienne est constante dans chaque élément du maillage. Cependant, avec la transformation discrète, dans le cas de grandes déformations de la géométrie du domaine aléatoire réel, certains éléments peuvent « se retourner », ce qui conduit à une matrice jacobienne dont le déterminant est négatif. La transformation n’est alors plus bijective et le problème défini dans le domaine de référence présente une perméabilité tensorielle n’étant plus définie positive. Ce problème est alors mal posé. Si on regarde ce phénomène du point de vue de la déformation de maillage, il est équivalent au cas d’éléments qui se chevauchent.