Admin CliCours
Différentes propriétés de marches aléatoires avec
contraintes géométriques et dynamiques
Comment la présence d’un obstacle affecte-t-elle l’extension spatiale d’un mouvement brownien ?
Dans ce premier chapitre, nous allons donner des éléments de réponse à cette question à une et deux dimensions. S’il est aisé de mesurer l’extension spatiale d’un mouvement brownien unidimensionnel à l’aide de la distance entre les points extrêmes visités par le marcheur, le choix de l’outil adapté à cette quantification l’est en revanche moins à deux dimensions. Comment peut-on en effet caractériser l’espace occupé par un mouvement brownien bidimensionnel ? Un des objets qui permettent de répondre à cette question est ce que l’on appelle l’enveloppe convexe de la trajectoire brownienne, définie comme le plus petit polygone convexe contenant 8 Chapitre 2. Enveloppe convexe d’un mouvement brownien confiné toute la trajectoire (voir figure 2.1(a)). Pour bien se représenter ce dont il s’agit, imaginons que l’on matérialise chacune des positions par lesquelles le marcheur brownien est passé au cours du temps (en discrétisant le temps) par un clou et que l’on tende un caoutchouc autour de ces clous, que l’on lâche ensuite. La forme polygonale convexe prise par le caoutchouc est exactement l’enveloppe convexe de la trajectoire (voir figure 2.1(b)). Outre l’étude théorique du mouvement brownien, la problématique de la quantification de l’espace occupé par un mouvement brownien bidimensionnel apparaît également naturellement en écologie lorsque l’on cherche à estimer l’étendue de l’habitat d’animaux sauvages [Murphy 92]. En effet, comme nous l’avons vu précédemment, le mouvement des animaux est modélisé de manière courante et satisfaisante par un mouvement brownien, principalement lors des phases de recherche de nourriture, d’un abri ou d’un partenaire sexuel [Berg 93, Bartumeus 2005]. La méthode la plus populaire parmi les écologistes pour caractériser l’habitat d’un animal consiste à étudier l’enveloppe convexe de la trajectoire de l’animal [Worton 95, Giuggioli 20]. Une mesure de la taille de l’habitat de l’animal est alors donnée par le périmètre ou l’aire de cette enveloppe convexe. (a) (b) Figure 2.1 – (a) Enveloppe convexe d’une trajectoire brownienne bidimensionnelle (en rouge). Il s’agit du plus petit polygone convexe contenant la trajectoire (en vert). (b) Illustration de la construction de l’enveloppe convexe d’une trajectoire. Si l’on plante un clou (point noir) à chacune des positions occupées successivement par le marcheur brownien au cours du temps et que l’on tend un caoutchouc autour de ces clous, que l’on lâche ensuite, la forme polygonale convexe (en vert) prise par le caoutchouc est exactement l’enveloppe convexe de la trajectoire brownienne (en rouge). Pour un mouvement brownien plan non confiné de constante de diffusion D, le périmètre moyen [Takács 80] et l’aire moyenne [Bachir 83] de son enveloppe convexe au temps d’observation t ont été déterminés de manière exacte dans la littérature mathématique hL(t)i = √ π D t (2.1) hA(t)i = π D t. (2.2) La seule longueur caractéristique d’un mouvement brownien plan au temps t étant sa longueur de diffusion √ Dt, on constate sans surprise que le périmètre moyen de l’enveloppe convexe est proportionnel à cette longueur, et l’aire moyenne à son carré. Bien plus récemment, l’étude théorique de l’enveloppe convexe a connu un regain d’intérêt, à la fois dans la littérature mathématique et physique, en généralisant ces premiers résultats fondateurs dans différentes directions. En particulier, une méthode générale a été proposée [Randon-Furling 2009b, Majumdar 20] pour calculer le périmètre moyen et l’aire moyenne de l’enveloppe convexe d’un processus stochastique arbitraire à deux dimensions. Dans les cas où le processus bidimensionnel est isotrope, le calcul se ramène à un calcul de statistique d’extrême du processus radial, donc unidimensionnel, correspondant. Le périmètre moyen et l’aire moyenne ont ainsi été déterminés dans un certain nombre de situations physiques : en présence de N marcheurs browniens indépendants [Randon-Furling 2009b, Majumdar 20], pour un processus d’accélération aléatoire [Reymbaut 20], pour un mouvement brownien branchant avec absorption 1 [Dumonteil 20] ou encore en présence de diffusion anormale 2 [Luković 20]. Tous ces résultats se limitent au cas de processus stochastiques en espace infini, c’est-à-dire en l’absence de confinement. Néanmoins, les processus stochastiques décrits par un mouvement brownien ont en pratique souvent lieu en espace confiné. Par exemple, l’étendue de l’habitat d’un animal peut être limitée par la présence d’éléments naturels ou liés à l’activité humaine qui l’empêchent de se déplacer librement dans tout l’espace. Comment le confinement du milieu naturel dans lequel évolue un animal affecte-t-il l’étendue de son territoire ? Au-delà de cette motivation écologique, la détermination du périmètre moyen de l’enveloppe convexe en confinement est une question intrinsèquement importante dans le contexte de l’étude théorique du mouvement brownien. On s’intéressera ici au cas d’un confinement minimal, qui admet une solution exacte. Considérons un mouvement brownien bidimensionnel partiellement confiné par un plan infini réfléchissant 3 partant à une distance initiale d de celui-ci (voir figure 2.2(a)). Bien que simpliste en apparence, ce confinement modélise de manière adéquate une route, une rivière, un littoral ou encore une chaîne montagneuse, au-delà desquels un animal ne peut pas s’aventurer. La présence de ce confinement a pour conséquences fondamentales de briser l’isotropie de la géométrie par rapport au cas sans confinement, et d’introduire une deuxième longueur caractéristique au problème, la distance initiale au plan d, en plus de la longueur de diffusion √ Dt. L’existence de deux longueurs caractéristiques rend la prédiction du comportement du périmètre moyen de l’enveloppe convexe plus difficile qu’en l’absence de confinement, avec une seule longueur caractéristique. En revanche, on peut d’ores et déjà prévoir que toute longueur du problème f(d, t), et en particulier le périmètre moyen de l’enveloppe convexe, prend une forme d’échelle du type f(d, t) = √ Dt ˆf d √ Dt = √ Dt ˆf(x), (2.3) ˆf étant la fonction d’échelle 4 associée à la fonction dimensionnée f, et x ≡ d/√ Dt le paramètre 1. Le marcheur brownien peut donner naissance à un double qui évolue ensuite indépendamment de lui et mourir au cours de son mouvement. 2. Une diffusion est qualifiée d’anormale lorsque son déplacement quadratique moyen n’est pas linéaire en temps. Il s’écrit de manière générale hr 2 i ∼ Dtβ . Si β > 1, on est en présence de super-diffusion, et si β < 1, on parle de sous-diffusion. 3. Dans tout ce qui suit, on parlera de plan, même s’il serait plus juste de parler d’une droite réfléchissante. 4. C’est-à-dire une fonction sans dimension physique, qui ne dépend que de paramètres d’échelle, eux-mêmes adimensionnés d’échelle. Avant de nous pencher sur la question centrale de ce chapitre, à savoir l’étude du périmètre moyen de l’enveloppe convexe d’un mouvement brownien bidimensionnel en présence d’un plan infini réfléchissant, nous allons commencer par étudier l’équivalent unidimensionnel de ce problème, afin de mettre en valeur par la suite la spécificité du cas bidimensionnel.
Cas unidimensionnel
Nous commençons donc par étudier un mouvement brownien unidimensionnel partant de l’abscisse 0 à l’instant initial et partiellement confiné par un point réfléchissant situé à l’abscisse −d (voir figure 2.2(b)). L’équivalent du périmètre de l’enveloppe convexe dans ce cas est simplement l’extension du mouvement brownien, définie comme la distance entre les positions extrêmes visitées par le marcheur brownien. Le temps d’observation t est fixé et on étudie la dépendance de l’extension moyenne hL (d) 1D(t)i en la distance initiale au point réfléchissant. Avant tout calcul, on sent intuitivement que le point réfléchissant empêche le mouvement brownien de s’étendre autant qu’il le ferait en l’absence de confinement, et ce d’autant plus qu’il en part près. Nous allons vérifier cette conjecture en déterminant l’expression exacte de l’extension moyenne hL (d) 1D(t)i. L’extension peut s’écrire comme la somme du maximum de la marche brownienne jusqu’au temps t vers la droite M(d) droite(t) et du maximum vers la gauche M(d) gauche(t), ce qui donne l’égalité suivante pour les valeurs moyennes hL (d) 1D(t)i = hM(d) droite(t)i + hM(d) gauche(t)i. (2.4) Le maximum vers la droite représente la distance entre le point le plus à droite de la trajectoire au temps t et le point de départ, respectivement pour le maximum vers la gauche (voir figure 2.2(b)). On peut écrire par définition hM(d) droite(t)i = Z +∞ 0 dy y P M(d) droite(t) = y (2.5) 2.2. Cas unidimensionnel où P M(d) droite(t) = y est la distribution du maximum vers la droite. En intégrant par parties l’équation (2.5) et en notant F (d) t (y) la distribution cumulative associée F (d) t (y) = Prob M(d) droite(t) 6 y ≡ Z y 0 dx P M(d) droite(t) = x , (2.6) on obtient hM(d) droite(t)i = h y F (d) t (y) − 1 i+∞ 0 − Z +∞ 0 dy F (d) t (y) − 1 = Z +∞ 0 dy 1 − F (d) t (y) . (2.7) Par ailleurs, il est équivalent de dire que le maximum vers la droite au temps t est inférieur à y ou que la trajectoire n’a pas encore touché le point d’abscisse y au temps t. La distribution cumulative F (d) t (y) n’est donc autre que la probabilité de survie S (d) droite(t|y) de la trajectoire au temps t en présence d’un point absorbant situé à l’abscisse y et du point réfléchissant situé en −d, c’est-à-dire, d’après (2.7) hM(d) droite(t)i = Z +∞ 0 dy 1 − S (d) droite(t|y) . (2.8) De manière similaire, le maximum moyen vers la gauche s’écrit hM(d) gauche(t)i = Z 0 −d dy (1 − Sgauche(t|y)). (2.9) Remarquons que dans cette intégrale, y est cette fois limité à −d en raison de la présence du point réfléchissant, et que la quantité Sgauche(t|y) est la probabilité de survie en présence d’un point absorbant en y (négatif), qui écrante par conséquent le point réfléchissant. Si on note ˆf(p) = R +∞ 0 dt f(t) e −p t la transformée de Laplace de la fonction f(t), on trouve D Mˆ (d) droite(p) E = Z +∞ 0 dy 1 p − Sˆ (d) droite(p|y) D Mˆ (d) gauche(p) E = Z 0 −d dy 1 p − Sˆ gauche(p|y) (2.) où les transformées de Laplace des deux probabilités de survie peuvent être calculées par des méthodes classiques (voir annexe A) Sˆ (d) droite(p|y) = 1 p 1 − ch q p D d ch q p D (y + d) (2.) Sˆ gauche(p|y) = 1 p 1 − e √ p D y . (2.) En inversant les transformées de Laplace, on obtient finalement les maximums moyens renormalisés M˜ droite et M˜ gauche M˜ droite(x) ≡ * M(d) droite(t) √ Dt + = 2 √ π − 4 X +∞ n=1 (−1)n 4n2 − 1 e −n 2x 2 √ π − nx erfc (nx) ! (2.) M˜ gauche(x) ≡ *M(d) gauche(t) √ Dt + = 2 √ π 1 − e − x 2 4 + x erfc x 2 (2.) Chapitre 2. Enveloppe convexe d’un mouvement brownien confiné où x ≡ d/√ Dt est la distance initiale renormalisée par la longueur de diffusion √ Dt et erfc la fonction erreur complémentaire définie par erfc (x) = 1 − erf (x) = 2 √ π Z +∞ x dt e−t 2 . (2.) Comme discuté en introduction, le maximum possède une forme d’échelle, c’est-à-dire qu’une fois renormalisé par la longueur de diffusion, il est donné par une fonction sans dimension du paramètre d’échelle x, également sans dimension, qui est le rapport des deux longueurs caractéristiques du problème. La valeur en x = 0 de ces deux maximums, c’est-à-dire dans le cas où le point de départ est sur le point réfléchissant, est donnée par M˜ droite(0) = 2 π − 4 π X +∞ n=1 (−1)n 4n2 − 1 = √ π (2.) M˜ gauche(0) = 0. (2.) Par ailleurs, la dérivée des équations (2.) et (2.) en x = 0 dM˜ droite dx x=0 = 4X +∞ n=1 (−1)n 4n2 − 1 n erfc (nx) x=0 = 4X +∞ n=1 (−1)nn 4n2 − 1 = −1 (2.) dM˜ gauche dx x=0 = erfc x 2 x=0 = 1, (2.) permet d’obtenir le comportement des deux maximums à faible distance initiale, c’est-à-dire x 1 M˜ droite(x) = √ π − x + o(x) (2.20) M˜ gauche(x) = x + o(x). (2.21) Il est aisé de comprendre le second développement en remarquant que le marcheur a une probabilité proche de un de toucher le point réfléchissant, très proche de son point de départ, et qu’il est par conséquent très susceptible d’explorer toute la zone qui sépare son point de départ du plan réfléchissant. On obtient finalement de manière directe l’extension moyenne de la trajectoire au temps t hL (d) 1D(t)i = √ D t L˜ 1D d √ D t (2.22) où L˜ 1D est la fonction d’échelle du périmètre à une dimension définie par L˜ 1D(x) = M˜ droite(x) + M˜ gauche(x). (2.23)
Cas unidimensionnel
D’après les équations (2.) et (2.), l’expression explicite de cette fonction d’échelle est la suivante L˜ 1D(x) = 2 √ π − 4 X +∞ n=1 (−1)n 4n2 − 1 e −n 2x 2 √ π − nx erfc (nx) ! + 2 √ π 1 − e − x 2 4 + x erfc x 2 (2.24) et est tracée sur la figure 2.3(a). Elle croît de manière monotone avec la distance initiale depuis sa valeur en x = 0 (lorsque le marcheur part du point réfléchissant) L˜ 1D(x = 0) = √ π, (2.25) où elle a une tangente horizontale d’après les équations (2.20), (2.21) et (2.23), jusqu’à sa valeur asymptotique (lorsque le marcheur part infiniment loin du point réfléchissant et n’en sent donc plus les effets) L˜ 1D(x → +∞) = 4 √ π . (2.26) On retrouve sans surprise la valeur de l’extension d’un mouvement brownien unidimensionnel en l’absence de confinement [Feller 68]. 0 2 4 6 1.8 2.0 2.2 (a) t (b) Figure 2.3 – (a) Fonction d’échelle L˜ 1D (trait plein orange) de l’extension au temps t en fonction de la distance initiale renormalisée x, dont l’expression analytique exacte est donnée par l’équation (2.24). (b) Extension (trait plein orange) pour une distance initiale d = 1 en fonction du temps, donnée par l’équation (2.22) et (2.24). Les droites en pointillés représentent les deux régimes diffusifs observés aux temps courts et longs, correspondant aux deux valeurs limites de la fonction d’échelle données en (2.25) (vert) et (2.26) (bleu). Chapitre 2. Enveloppe convexe d’un mouvement brownien confiné On peut faire les remarques suivantes sur cette fonction d’échelle : (i) La présence du point réfléchissant préserve le comportement diffusif 5 de l’extension du mouvement brownien aux temps courts et aux temps longs (voir figure 2.3(b)). Si le marcheur part à une distance non nulle du point réfléchissant, aux temps courts (t d 2/D), il diffuse sans voir le point réfléchissant, puis perd son caractère diffusif 6 lorsqu’il rencontre le point réfléchissant pour des temps intermédiaires, et redevient diffusif aux temps longs (t d 2/D). (ii) L’extension moyenne hL (d) 1D(t)i à un temps d’observation fixé t est une fonction strictement croissante de la distance initiale d au point réfléchissant, dont la valeur asymptotique lorsque la distance initiale tend vers l’infini correspond à celle de l’extension moyenne en l’absence de confinement. Cela confirme l’intuition que nous avons formulée, selon laquelle le point réfléchissant empêche le mouvement brownien de s’étendre, d’autant plus que le point de départ est situé près du point réfléchissant. En particulier, à temps d’observation fixé, l’extension moyenne est minimisée dans le cas où le marcheur part du point réfléchissant, n’ayant accès pour s’étendre qu’à une demi-droite. (iii) Sur un plan purement théorique, l’expression (2.24) met en évidence que la fonction d’échelle unidimensionnelle est analytique en x = 0. Notre étude de l’équivalent unidimensionnel du périmètre de l’enveloppe convexe, l’extension de la trajectoire, constitue un préliminaire à la situation bidimensionnelle d’intérêt. La monotonie de la fonction d’échelle associée à l’extension moyenne de la trajectoire par rapport à la distance initiale s’accorde avec l’intuition qui suggère que l’élément réfléchissant a pour effet d’empêcher la trajectoire de s’étendre librement, d’autant plus qu’elle en part près. Penchons-nous maintenant sur le cas bidimensionnel.
1 Introduction générale |
