Diagonalisation exacte

Principe

Le principe de base est l’écriture exacte du hamiltonien pour un système de taille donnée dans un certain secteur de symétrie et la diagonalisation de la matrice (assez creuse) selon l’algorithme de Lanczos ; un profit maximal est obtenu `a partir des symétries du système. Les résultats sont donc par essence exacts. Il est `a noter que le calcul direct des fonctions de corrélation dynamiques est possible par cette méthode. Par contre, la principale limitation vient de la taille des réseaux considérés (la taille des matrices croˆıt exponentiellement avec la taille et l’utilisation de symétries ne permet de réduire typiquement que d’un facteur de l’ordre de la taille).

Les programmes de diagonalisation exacte utilisés dans le cadre de cette thèse sont des adaptations de programmes initialement écrits par Didier Poilblanc. On pourra pour plus de détails consulter les revues [117, 116]. i) Utilisation des symétries du système Considérons, par exemple, L spins sur une chaˆıne avec des conditions aux limites périodiques. La taille de l’espace de Hilbert total est de 2L . Néanmoins, il est possible de la réduire de manière très significative en utilisant les symétries du système, c’est- `a-dire celles commutant avec le hamiltonien. Celles-ci forment un groupe G, que l’on Methodes numeriques écrit généralement sous la forme : G = SU(2) × T × P, ou` SU(2) est le groupe de symétrie du spin, T celui des translations et P le groupe ponctuel du réseau. Nous allons donc nous intéresser aux représentations irréductibles de G et diagonaliser le hamiltonien dans chacune de ces dernières.

Les représentations irréductibles de SU(2) sont caractérisées par le spin total S et sa projection selon l’axe z S z . S’il est très facile de fabriquer une base de l’espace avec un S z fixé, l’utilisation du spin total S est moins immédiate. Pour la caractérisation des états, la connaissance de S n’est d’ailleurs pas nécessaire, cette information étant redondante avec l’éventuelle dégénérescence d’un état dans des secteurs de S z différents. Il est à noter que pour le secteur S z = 0, une symétrie de plus, celle d’inversion de spin, est utilisable. Pour le groupe des translations T, les représentations irréductibles sont repérées par leur vecteur d’onde. Par exemple, dans le cas d’une chaˆıne avec conditions aux limites périodiques (que nous appellerons aussi de fa¸con équivalente anneau) de longueur L, les L secteurs sont repérés par les ~kj = 2πj/L~ı (j entier compris entre 0 et L). Enfin, il reste à considérer le sous-groupe P~k du groupe ponctuel qui laisse ~k invariant. Dans le cas d’une chaˆıne, P~k vaut typiquement (Id,s) pour k = 0 ou π et (Id) pour les autres k (s est la réflexion perpendiculairement à la chaˆıne).

Ainsi, de fa¸con très concrète, la taille des matrices est typiquement divisée par le nombre de symétries disponibles par rapport à un espace construit à S z constant. ii) Cas des fermions sans spin Pour des fermions sans spin, il existe une analogie avec des spins localisés puisqu’`a une dimension et pour une une chaˆıne ouverte, ces deux systèmes sont identiques (cf. la transformation de Jordan-Wigner de la page 49). On peut donc tirer parti de cette analogie et coder de la mˆeme manière. En particulier, la symétrie Sz se traduit par un remplissage constant et l’inversion de spin qui est possible dans le secteur Sz = 0 se transforme en la symétrie particule-trou qui existe au demi-remplissage. Toutefois, le fait d’ˆetre sur un système de taille finie avec des conditions aux bords fermées empˆeche de pousser plus loin l’analogie et, pour des fermions, il faut tenir compte de la statistique de Fermi-Dirac. En effet, lors de l’application de certaines symétries, on doit tenir compte des facteurs (-1) issus des commutations des opérateurs fermioniques.