Diagonales de fractions rationnelles bivariées

Les algorithmes du chapitre précédent s’appliquent presque directement pour calculer un polynôme annulant une diagonale de fraction rationnelle bivariée. Le point clé est le fait qu’elles ont une représentation sous forme d’intégrale de frac- tion rationnelle. Nous avons déjà évoqué cela sommairement dans l’introduction et dans le premier chapitre. Dans la première section de ce chapitre, nous allons re- venir sur la définition et les propriétés de base des diagonales. La deuxième section présente une solution algorithmique au calcul d’un polynôme annulateur. La mé- thode est très similaire à l’algorithme PolIntFRat à cela près que l’on peut apporter une optimisation supplémentaire en utilisant la forme particulière que prennent les représentations intégrales des diagonales. Enfin, on étudiera en fin de chapitre le polynôme minimal de la diagonale d’une fraction rationnelle F dans le cas géné- rique et montrerons en particulier que son degré est génériquement exponentiel en le bidegré de F.Il est naturel de se demander si la réciproque est vraie : une série algébrique étant donnée, peut-on toujours trouver une fraction rationnelle bivariée dont elle est la diagonale ? La proposition suivante, due à Furstenberg, montre que c’est en effet le cas si l’on considère une série algébrique qui satisfait une bonne condition de séparation par rapport à ses conjuguées.

Le résultat attendu découle ensuite de la remarque 83. Il faut simplement s’assurer que la fraction F est régulière en (0,0). Mais ceci découle des hypothèses faites sur P. En effet, comme P(0,0) Æ 0, P(x y, y)/y est un polynôme dont on vérifie facile-a montré qu’il est toujours possible de se ramener à la situa- tion du lemme en développant f assez loin pour qu’elle se sépare de ses conju- guées. Plus précisément, il a prouvé que la queue du développement de f à l’ordre ® est solution d’un polynôme satisfaisant les hypothèses du lemme, pour peu que l’on choisisse ® assez grand. Cependant, sa méthode ne donne aucune information sur une valeur suffisante de ®. Adamczewski et Bellont établi une version quan- titative de ce résultat dans un cadre bien plus général, qui donne accès à une es- timation d’un ordre de développement ® suffisant. Le lemme suivant est une spé- cialisation de leur théorème au cas qui nous intéresse. J’en redonne la preuve en détail, d’une part parce qu’elle peut s’exprimer en des termes plus simples dans ce cas particulier, et également pour rectifier une légère imprécision dans la preuve d’Adamczewski et Bell.

On peut donc appliquer directement l’algorithme PolIntFRat à la fraction ration- nelle G(t, y) Æ F(t/y, y)/y pour obtenir un polynôme annulateur. Cependant, onpeut faire mieux, en prenant en compte la structure particulière de la fraction G qui et obtenue à partir du changement de variables x 7! t/y dans F. Dans le pa-ragraphe suivant, on va prédire la forme de G, ce qui permet dans certains cas de prédire une factorisation du polynôme qui serait calculé par l’algorithme Po- lIntFRat. Ceci conduit à une variante de cet algorithme qui calcule directement le facteur qui nous intéresse.Plus concrètement, comme illustré dans le dessin ci-dessous, le degré diagonal inférieur d’un polynôme peut se lire sur son polygone de Newton de la façon sui- vante : on fait descendre une droite de pente 1 depuis l’infini jusqu’à rencontrer un point du support des coefficients du polynôme. Le degré diagonal inférieur est l’ordonnée à l’origine de cette droite. Le degré diagonal supérieur est obtenu en faisant monter une droite de pente 1 depuis l’infini jusqu’à rencontrer le support du polynôme, et en lisant l’abscisse du point d’intersection de cette droite avec l’axe horizontal.Par ailleurs, pour utiliser l’algorithme SommeCompPure de la section 3.2, on a également besoin de connaître le nombre de petites branches du dénominateur après le changement de variables. Comme on l’a déjà rappelé, le nombre de pe- tites branches d’un polynôme est exactement la largeur totale des pentes stricte- ment négatives dans son polygone de Newton. Dans le lemme suivant, on note Nsmall(P) le nombre de petites branches d’un polynôme P.