Différents Types Des Récurrences

L’un des objectifs de la théorie des systèmes dynamiques est de caracteriser topologiques des ensembles minimaux.

Définition 5.3.1. Soit (X, f ) un système dynamique. Un ensemble M ⊂ X est dit minimal de f s’il est invariant, fermé, non vide et ne contient aucun sous-ensemble prope f -invariant et fermé.

Théorème 5.3.2 ([74]). Soient (X, f ) un système dynamique et M un sous-ensemble de X . Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. M est minimal.

2. Pour tout x ∈ M , Orbf (x) = M

3. Pour tout x ∈ M , ωf (x) = M .

Remarque 5.3.3. Si X est minimal, alors nous disons que f est une application minimale, équivalent à dire que chaque orbit est dense dans X .

Théorème 5.3.4. Soit (X, f ) un système dynamique, l’intersection de deux ensembles minimaux distincts est vide.

Démonstration. Soit M et N deux ensembles minimaux distincts. Supposons que A = M ∩ N = ∅, alors A est fermé et f -invariant. Par contre, A est un sous-ensemble propre de M et N qui est fermé, non vide et f -invariant. Le fait que M et N sont deux minimaux nous donner une contradiction.

Remarque 5.3.5. La Proposition 5 2 6 montre que les ensembles ω-limites finis sont précisément les orbites périodiques de l’application f . Donc, ils doivent également être des ensembles minimaux. Équivalent à dire que, les ensembles minimaux finis d’un système dynamique coïncident avec les ensembles ω-limites finis.

Proposition 5.3.6. Soit (X, f ) un système dynamique, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. f est minimale.

2. Pour tout x ∈ X, Orbf (x) = X

3. Le seul sous-ensemble de X fermé et f -invariant est X ou ∅.

4. Pour tout ensemble ouvert non vide U de X , f −i(U ) = X i=0

5. Pour tout ensemble ouvert non vide U  ⊆  X , il existe un nombre fini k d’entiers, i1, i2,  , i  k , tel que    f −il (U ) = X l=1

Définition 5.3.7. Un sous-ensemble fermé C de X est dit totalement discontinu si les seules composantes connexes de C sont des singletons.

Définition 5.3.8. Un sous-ensemble fermé C de X est dit ensemble Cantor s’il n’admet pas de points isolés et totalement discontinu.

Proposition 5.3.9 ([?]). Chaque ensemble minimal infini pour une application continue sur un intervalle compact est un ensemble Cantor.

Théorème 5.3.10 ([75]). S’il existe un homéomerphisme ϕ : C → C où C un ensemble Cantor, alors ϕ est minimale.

Définition 5.4.4. Deux systèmes dynamiques topologiques (X, f ) et (Y, g) sont conjugués s’il existe un homéomorphisme h : X → Y tel que h ◦ f = g ◦ h De plus si h est uniquement continue, nous disons alors semi-conjugués ou f est h-semi-conjugué à g

Proposition 5.4.5. Soient (X, f ) un système dynamique, Y un sous espace métrique de X et g : Y → Y une application continue telle que f est h-semi-conjugué à g. Alors,

1. h  P (f )  ⊂ P (g).

2. h  AP (f )  = AP (g).

Démonstration. (1) est evident.

(2) La continité de l’application h implique h AP (f ) ⊂ AP (g). Soit y ∈ AP (g), par le Théorème 5 4 2, ωg (y) est minimal et y ∈ ωg (y). Ainsi, nous avons h−1 ωg (y) est un sous-ensemble f -invariant et contient un ensemble minimal K de f . Comme h(K) est g-invariant, alors h(K) = ωg (y) ce qui implique qu’il existe un point x ∈ K presque périodique de f , tel que h(x) = y. D’où y ∈ h  AP (f ) .

Définition 5.4.6. Un point x ∈ X est dit récurrent pour f s’il satisfait l’une des propriétés équivalentes suivantes :

1. Si x ∈ ωf (x).

2. Pour chaque ε > 0, il existe n ∈ N tel que d(f n(x), x) < ε.

3. Pour tout sous-ensemble U ⊂ X contenant le point x, il existe n ∈ N∗ tel que f n(x) ∈ U .

Définition 5.4.7. Un point x ∈ X est dit régulièrement récurrent, si pour tout voisinage U de x, il existe un certain N ∈ N∗ tel que f nN (x) ∈ U pour tout n ∈ N∗.

Dans toute la suite nous noterons R(f ) et RR(f ) l’ensemble des points récurrents et régulièrement récurrents respectivement.

De plus, par les définitions, nous avons toujours les inclusions suivantes : F ix(f ) ⊂ P (f ) ⊂ RR(f ) ⊂ AP (f ) ⊂ R(f )

Proposition 5.4.8. Soit (X, f ) un système dynamique. Si x ∈ X est un point récurrent non périodique, alors l’ensemble ω-limite ωf (x) est non dénombrable et n’admet pas de point isolé. Démonstration. Supposons que x ∈ ωf (x) et non périodique.

Si ωf (x) est fini, alors il s’agit d’une orbite périodique, donc x est périodique, absurde.

Si ωf (x) est dénomrable, alors il admet un point isolé dénoté par z. Donc il existe une suite d’entiers (nk )k≥1  telle que la suite f nk (x) converge vers z. k≥1

Puisque z est isolé dans ωf (x) et  f nk (x)⊂ ωf (x), alors k≥1 z = f n(x) = f n+k (x) pour n ≥ 0et k > 0

Ce qui implique que f n(x) ∈ P (f ) Puisque ωf (x) = ωf f n(x) , donc ωf (x) est fini, absurde. Nous concluons que ωf (x) est non dénombrable.

Théorème 5.4.9. Soit (X, f ) un système dynamique. Alors, pour tout n ∈ N,

1. R(f n) = R(f )

2. RR(f n) = RR(f ).

Démonstration. L’assertion (1) découle de la Proposition 5 2 4 et l’assertion (2) par la définition.   Théorème 5.4.10. Soient (X, f ) un système dynamique, Y un sous espace métrique de X et g : Y → Y une application continue telle que f est h-semi-conjugué à g. Alors, h R(f )  = R(g)

Une preuve complete est dans [76].

Définition 5.4.11. Soit (X, f ) un système dynamique. Nous disons que f : X → X est :

1. Périodique par point si P (f ) = X .

2. Récurrent par point si R(f ) = X .

3. Relativement récurrent si R(f ) = X .

Le comportement du voisinage d’un point joue un rôle très important dans les systèmes dynamiques qui peut donner un aperçu de la dynamique à long terme. Voir [77] par exemple. Définition 5.4.12. Soit (X, f ) un système dynamique. Un point x ∈ X est dit errance pour f s’il existe un voisinage U de x tel que f −n(U ) ∩ U = ∅ pour tout n ∈ N. Si non, le point x est dit non-errant.

Dans toute la suite, nous allons noter par Ω(f ) l’ensemble des points non errants pour f qui est défini par : Ω(f ) := y : pour tout U voisinage de y, il existe n ∈ N, tel que f −n(U )∩U = ∅

Remarque 5.4.13. (1) Si f est un endomorphisme d’un intervalle, alors nous disons que le point x est errance s’il existe une suite xk → x et une suite nk → ∞ telle que f nk (xk ) → x

(2) Par les définitions, il est claire que tout point récurrent est non-errant. Donc

F ix(f ) ⊂ P (f ) ⊂ RR(f ) ⊂ AP (f ) ⊂ R(f ) ⊂ Ω(f )

Proposition 5.4.14. Soit (X, f ) un système dynamique. Alors Ω(f ) est non-vide, fermé et f -invariant i ; f Ω(f ) ⊂ Ω(f ) .

Démonstration. Si x ∈ X \Ω(f ), alors il existe un voisinage U de x tel que f −n(U ) ∩ U = ∅ pour tout n ∈ N. Donc U ∩ Ω(f ) = ∅ et donc X \Ω(f ) est un ensemble ouvert. D’où Ω(f ) est un ensemble fermé non vide.

Proposition 5.4.15. Soit (X, f ) un système dynamique. Alors Ω(f ) = X si et seulement si R(f ) = X

Dans cette sous-section, nous regardons la propriété de transitivité et introduisons une propriété inhérente aux ensembles de ω-limite

Définition 5.4.16. Un point x ∈ X est dit transitif pour f si son orbite Orbf (x) est dense dans X . Définition 5.4.17. Une application f : X → X est dite topologiquement transitive si pour tous ensembles ouverts non vides U et V de X , il existe un entier k > 0 pour lequel f k (U ) ∩ V = ∅. Définition 5.4.18. Une application f : X → X est dite topologiquement exacte si pour tout ensemble ouvert non vide U ⊂ X il existe un entier k > 0 tel que f k (U ) = X .

Proposition 5.4.19. Soit (X, f ) un système dynamique. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1.f est topologiquement transitive.

2. Pour tout ensemble ouvert non vide D ⊂ X, f n(D) est dense dans X . n∈N

3. Pour chaque paire d’ensembles ouverts non vides U, V ⊂ X , il existe un entier k ≥ 0 pour lequel f −k (U ) ∩ V = ∅.

4. Pour tout ensemble ouvert non vide D ⊂ X, f −n(D) est dense dans X . n∈N

5. Tout sous-ensemble fermé, invariant et propre de X a un intérieur vide.

Démonstration. (1) ⇒ (2) Pour tous U, V deux ensembles ouverts non vides de X , il existe un k ∈ N tel que f k (U ) ∩ V  = ∅. Alors, f k (U ) est dense dans X . n∈N (2) ⇒ (3) Soit D un ensemble ouvert non vide de X tel que f n(D) est n∈N dense dans X . Donc pour tout ensemble ouvert dans X , il existe un entier k > 0 tel que f k (D) ∩ V = ∅. Ce qui implique qu’il existe x ∈ D tel que f k (x) ∈ V . Alors, f −k (V ) ∩ D = ∅

(3) ⇒ (4) Analogue à (1) ⇒ (2)

(4) ⇒ (5) Supposons que pour tout D un ensemble ouvert non vide de X nous avons f −n(D) est dense dans X . Soit C un ensemble non vide fermé n∈N ˚ = ∅. Alors il existe un ensemble ouvert et f -invariant de X et supposons que C

U ⊂ C et un k ∈ N pour lequel f −k (X \C) ∩ U = ∅. Le fait que C est invariant, donc nous avons une contradiction. Alors, C est un ensemble d’un intérieur vide.

(5) ⇒ (1) Supposons que tout sous-ensemble non vide, invariant et fermé de X est d’un intérieur vide. Soient U et V deux sous-ensembles ouverts non vides de X  tels que pour tout k ∈ N, f k (U ) ∩ V  = ∅. Alors, f k (U ) est un kN sous-ensemble propre non vide, fermé et invariant de X avec intérieur non vide, contradiction. Donc f est topologiquement transitif.

Le lemme suivant est une conclusion directe de la deuxième assertion de la proposition précédente.