Développements numériques : nourrir le modèle

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Utilisation des modèles (n + 1)-phase comme cas test

De nombreux auteurs se sont intéressés aux modèles (n + 1)-phase et ont utilisé les résultats de ces modèles comme cas tests pour le comportement linéaire. La précision d’estimation de ces modèles est donc primordiale puisque la fiabilité et l’efficacité d’autres modèles en dépend. Comportements plus complexes Plusieurs travaux utilisent les résultats donnés dans les articles Hervé et Zaoui (1993) et Hervé et Zaoui (1995) pour développer des comportements plus complexes. Deux exemples peuvent être cités dans le cas de composites à fibres pour un comportement élastique ortho-trope. Marklund et al. (2008) étudient l’effet de l’anisotropie des fibres de bois et Tsukrov et Drach (2010) développent un nouveau modèle analytique explicite pour les composites multi-couches cylindriques orthotropes. Leurs travaux ont été étendus aux cas de fibres et matrices orthotropes avec un comportement thermoélastique (Tsukrov et al., 2012).

Développements numériques

Des développements numériques ont également été comparés aux résultats des articles de Hervé et Zaoui (1993) et de Hervé et Zaoui (1995), comme par exemple dans le cas d’inclusions ellipsoïdales Berbenni et Cherkaoui (2010). Le comportement de composites à fibres multi-couches a aussi été déterminé par un algorithme récursif (Upadhyay et Lyons, 2000) ou de manière numérique (Wang et al., 2006) par exemple permettant ici de prendre en compte des interphases non homogènes. Une autre utilisation a été faite avec Bardella et Genna (2001a) qui cherchent à déterminer les modules élastiques du cœur d’un composite sandwich formé d’un cœur en mousse syntactique et d’une peau en composite unidirectionnel constitué de résine et de fibres de verre.

Autres utilisations

L’article Hervé et Zaoui (1993) a été récemment étendu à des comportements non linéaires (Hervé-Luanco, 2017). Beicha et al. (2016) offrent une comparaison des résultats des modèles ACG de Christensen et Lo (1979) et (n+1)-phase par rapport à des simulations numériques avec des tirages aléatoires de fibres.

Modèles d’homogénéisation à champs complets

Méthode des Éléments Finis

Lorsque la résolution analytique des équations différentielles devient délicate, d’autres modèles d’homogénéisation, à champs complets, peuvent être utilisés pour prédire le com-portement linéaire élastique transverse des matériaux composites. La Méthode des Élé-ments Finis (MEF) en est l’un des exemples parmi les plus communément utilisés.
La MEF tire son origine du besoin de résoudre des problèmes complexes en élasticité et en analyse de structure pour les ingénieurs. Le concept d’élément fini a été introduit en 1956 par Turner et al. (1956) et la méthode a été définie mathématiquement dans les années 1960 avec les travaux de Zienkiewicz. Elle a trouvé son essor grâce au développement du calcul numérique sur ordinateurs et s’est aujourd’hui étendue à de nombreux domaines d’application. C’est l’un des outils numériques pour approcher la solution d’un problème aux dérivées partielles. Il repose sur le concept de la discrétisation du domaine d’étude en sous-domaines discrets, que l’on appelle des éléments. La MEF peut s’appliquer à différentes échelles, celle de la structure mais également celle des “microstructures”. La discrétisation spatiale utilisée dans la MEF permet de représenter aussi fidèlement que possible la répartition des phases dans les microstructures. Cette méthode permet donc de simuler le comportement de systèmes physiques complexes en prenant en compte la morphologie locale. Cela est particulièrement utile quand on atteint les limites des modèles analytiques tout en limitant les essais sur pièce réelle souvent longs et coûteux. Le nombre de degrés de liberté et la taille des éléments va jouer sur la qualité de l’approximation de la solution et dans les zones où la solution évolue rapidement il sera nécessaire de raffiner le maillage.
Lorsque la microstructure du composite est arrangée périodiquement, le volume sur lequel les calculs sont menés peut être réduit à celui de l’unité périodique. La microstruc-ture du matériau est décomposée en cellules périodiques translatées selon les vecteurs de périodicité. Dans la plupart des cas, l’arrangement des renforts est cependant aléatoire et un Volume Élémentaire Représentatif doit être défini. En première approximation.

MODÈLES D’HOMOGÉNÉISATION À CHAMPS COMPLETS

calcul sur un arrangement périodique permettra de d’approcher le comportement d’une microstructure aléatoire mais il faut être conscient des hypothèses adoptées. Quelle que soit la géométrie considérée, les étapes nécessaires pour obtenir la solution via la MEF sont :
— Réaliser un maillage : Cette étape est souvent nommée : étape de représentation. Lors d’une modélisation par Éléments Finis, plusieurs problèmes entrent en jeu. L’un d’eux concerne la difficulté de représenter la géométrie de microstructures aléatoires complexes. La taille des modèles est souvent très élevée due au grand nombre de degrés de liberté nécessaires pour raffiner le maillage. En effet, lorsque les fibres sont très proches, des zones de concentration de contrainte apparaissent. Mailler finement dans ces zones est un travail long et fastidieux qui peut parfois être accompagné par des techniques automatisées.
— Imposer des conditions aux limites et appliquer un chargement :
Afin de résoudre les équations de comportement pour un milieu considéré, il est nécessaire d’imposer des conditions aux limites et d’appliquer un chargement au Volume Élémentaire Représentatif choisi. Il est alors possible de reconstruire les matrices homogénéisées de souplesse et d’élasticité des matériaux étudiés. Il est pos-sible d’imposer des conditions aux limites de différentes natures qui permettent de reproduire des configurations expérimentales réelles. La MEF permet de solliciter les (micro)structures considérées dans des conditions parfois difficiles à atteindre avec des essais expérimentaux physiques.

existe trois types de conditions aux limites principales

1. Conditions aux limites en déformation homogène, ou KUBC (Kinetic Uniform Boundary Conditions).
2. Conditions aux limites en contrainte homogène, ou SUBC (Static Uniform Boundary Conditions).
3. Conditions aux limites périodiques, ou PBC (Periodic Boundary Conditions).Les conditions aux limites périodiques sont à privilégier quand cela est possible (Bes-son et al., 2001).

Une étape d’homogénéisation

Les méthodes d’homogénéisation ont pour objectif de déterminer le comportement macroscopique homogénéisé de matériaux dont la structure est hétérogène à une échelle inférieure, dans notre étude à une échelle microscopique.
La MEF permet de réaliser cette opération numérique d’homogénéisation assez sim-plement. Il s’agit d’effectuer des calculs de moyennes sur un Volume Élémentaire Représentatif étant sollicité de telle sorte que les composantes des matrices d’élas-ticité puissent être obtenues facilement. Parmi les techniques existantes, celle dite de l’“élément périodique” en déformation ou en contrainte est probablement la plus efficace. Cette méthode est basée sur des degrés de liberté supplémentaires (6) qui correspondent à la déformation homogène ou la contrainte homogène. Dans le cadre de l’élasticité linéaire, l’approche en contrainte ou en déformation conduit bien en-tendu au même résultat.
— Une étape de localisation :
La procédure d’homogénéisation nécessite une étape de localisation qui vise à relier les champs macroscopiques aux champs locaux. Dans le cadre de la MEF, il s’agit de remonter aux champs locaux en utilisant le comportement homogène équivalent sur la structure.

Table des matières

Introduction générale
1 État de l’art
1.1 Intérêt de la modélisation micromécanique
1.2 Modèles d’homogénéisation à champs moyens
1.2.1 Assemblage de Hashin
1.2.2 Modèle différentiel
1.2.3 Modèle de Mori Tanaka
1.2.4 Modèle Auto-Cohérent Classique
1.2.5 Modèle Auto-Cohérent Généralisé (ACG)
1.2.6 Modèle Auto-Cohérent Généralisé (n + 1)-phase
1.2.7 Utilisation des modèles (n + 1)-phase comme cas test
1.2.8 Autres utilisations
1.3 Modèles d’homogénéisation à champs complets
1.3.1 Méthode des Éléments Finis
1.3.2 Méthode FFT
1.3.3 Approches multi-échelle
1.4 Intérêt d’un nouveau modèle
1.4.1 Exemple de résultats expérimentaux
1.4.2 Comparaison avec les résultats du modèle ACG
1.4.3 Utilité des expériences numériques
1.5 Approche par Motifs Morphologiques Représentatifs
1.5.1 Approche MMR associée au modèle (n + 1)-phase
1.5.2 Notre approche : extension de l’approche MMR à des composites fibres en élasticité
2 Développement d’un modèle analytique ACG/MRP
2.1 Introduction
2.1.1 À la recherche des propriétés transverses élastiques des composites unidirectionnels
2.1.2 Un modèle micromécanique rationnel
2.2 Extension du modèle (n + 1)-phase
2.2.1 Méthodologie
2.2.2 Mode hydrostatique plan
2.2.3 Mode en cisaillement plan
2.3 Cas particulier de deux motifs avec deux phases dans chaque motif
2.3.1 Définition des paramètres utiles
2.3.2 Développement de keff
2.3.3 Développement de μeff
2.4 Synthèse des résultats obtenus
3 Étude de sensibilité des paramètres du modèle
3.1 Variation de m et de c
3.2 Confrontation du modèle à des cas expérimentaux
3.2.1 Limiter les incertitudes
3.2.2 Méthodologie
3.2.3 Réponse du modèle dans les conditions expérimentales retenues, courbes “enveloppe”
3.2.4 Résultats expérimentaux de Zimmer et Cost (1970)
3.3 Réduire les incertitudes, apport du numérique
3.4 Recherche de couples solution (m, c) communs
3.4.1 Méthode inverse
3.4.2 Superposition des couples solution pour les deux modules transverses
3.5 Conclusion
4 Développements numériques : nourrir le modèle
4.1 Amélioration de la recherche des couples solutions
4.1.1 Application à un matériau composite réel verre-polyamide
4.1.2 Une microstructure maîtrisée
4.1.3 Choix du VER – Maîtrise de l’incertitude
4.1.4 Difficultés liées au maillage
4.1.5 Résultats
4.2 Robustesse des couples solutions
4.2.1 Variation des paramètres matériaux
4.2.2 Deux zones de performance
4.2.3 Recherche d’une valeur de m optimisée
4.2.4 Procédure de minimisation de l’erreur
4.2.5 Généralisation à d’autres concentrations en fibres
4.2.6 Résultats
4.3 Étude du cas d’une matrice incompressible
4.4 Indépendance de la physique considérée
4.5 Conclusion
5 Conclusions et perspectives
5.1 Retour sur les enjeux de la thèse
5.2 Évolutions du modèle analytique
5.3 Amélioration du modèle numérique
 Annexes
A.1 Résultats du modèle avec les valeurs de m optimisé dans d’autres cas
A.1.1 Premier cas : f = 0.2 et m = 0.2
A.1.2 Second cas : f = 0.2 et m = 0.3
A.2 Résultats WWFE
A.3 Cas d’une matrice incompressible : autres valeurs de m
A.3.1 2ème valeur de m
A.3.2 3ème valeur de m

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