Dérivation des équations de Saint-Venant bidimensionnelles et recherche bibliographique sur les applications

Équations de Navier-Stokes moyennées dans le temps ou équations de Reynolds ou R.A.N.S 

Introduction à la turbulence 

La plupart des écoulements rencontrés dans la nature et les applications de l’ingénierie sont turbulents. Dans la réalité, ces écoulements sont turbulents à des degrés différents. On peut citer quelques exemples d’écoulements turbulents : les écoulements atmosphériques (à grande échelle), fumées d’incendies, sillages (écoulements autour d’un obstacle) (Mbow, 2013 ;kundu, 1995).

Caractéristique de la turbulence 

La turbulence est caractérisée par les propriétés suivantes (Kundu, 1995 ; Wikipedia):Caractère aléatoire: les écoulements turbulents paraissent irréguliers, chaotiques et imprévisibles. C’est pourquoi les problèmes de turbulence sont normalement traités statistiquement plutôt que de manière déterministe.Diffusivité : la fourniture d’énergie facilement disponible dans les écoulements turbulents tend à accélérer l’homogénéisation de mélanges fluides. La caractéristique qui est responsable de ce mélange et l’augmentation des taux de masse, de quantité de mouvement et de l’énergie transportée est appelée la diffusion.Vorticité : la turbulence est caractérisée par la fluctuation de la vorticité tridimensionnelle (3D) et la rotation. L’Identifiable structure de la turbulence est le tourbillon et un écoulement turbulent est toujours rotationnel.Dissipation : pour maintenir un écoulement turbulent, une source persistante d’approvisionnement en énergie est nécessaire parce que la turbulence se dissipe aussi rapidement que l’énergie cinétique est convertie en énergie interne par contrainte de cisaillement visqueux.Continuum : même en régime turbulent, l’écoulement est régi par les équations de la mécanique des fluides telles que les équations de Navier-Stokes.Non linéarité : la turbulence est aussi caractérisée par la non linéarité des équations de Navier-Stokes.

Rappels sur les divers types de moyennes 

Les problèmes de la turbulence étant traités statistiquement, nous allons rappeler quelques propriétés de la statistique : la moyenne.Plusieurs types de moyennes peuvent être pris en compte, suivant l’écoulement considéré.Soit 𝐹 une grandeur ou une quantité instantanée au point 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧).

Équations de Navier-Stokes moyennées dans le temps ou équations de Reynolds ou

R.A.N.S 

Définition

Les « Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) » ou équations de Reynolds sont des équations de Navier-Stokes moyennés dans le temps.Les RANSE sont principalement utilisés pour décrire les écoulements turbulents. Ces Équations peuvent être utilisées avec des approximations de la connaissance des propriétés de la turbulence pour donner des solutions moyennes temporelles approximatives aux équations de Navier-Stokes. L’idée derrière les RANS est la décomposition de Reynolds.