DÉPIÉGEAGE DES VORTEX

Dépiégeage élastique

 Lorsque le piégeage est faible, l’élasticité domine le désordre et les déformations de la structure périodique sont faibles par rapport à la situation d’équilibre. Le dépiégeage est brutal avec un écoulement élastique des particules : les vortex se mettent en mouvement en bloc à partir de Fc en suivant des canaux statiques présentant une certaine rugosité (voir la gure 4.4a). Le dépiégeage brusque se manifeste sur la courbe v(F) par une tangente verticale à Fc (voir la gure 4.4b). Les exposants critiques de dépiégeage dans le cas élastique ont pu être calculés par le groupe de renormalisation fonctionnel en dimension 4 −  (voir par exemple [98] pour les ondes de densité de charge ou [99] pour les interfaces). Une étude plus récente [100] a montré qu’il n’existe que deux classes d’universalité (une pour les interfaces et une pour les systèmes périodiques) pour les systèmes élastiques désordonnés dans le cas du dépiégeage élastique. La valeur de l’exposant β calculée au premier ordre en  est β = 1 −  9 pour les interfaces et β = 1 −  6 pour les systèmes périodiques. Un calcul de renormalisation à deux boucles a été mené dans l’article [101] où les valeurs des exposants à l’ordre  2 sont présentés. La comparaison détaillée entre les valeurs théoriques des exposants critiques et celles obtenues par simulations numériques montre une bonne adéquation (voir par exemple [102]). D’autres contributions numériques sont également disponibles pour la détermination des classes d’universalité et des exposants critiques associés (voir [103] et les références à l’intérieur). Des exposants critiques ont été déterminés numériquement pour diérents systèmes. L’exposant β est le plus facile à déterminer et il apparaît souvent dans la littérature. Les simulations numériques réalisées en dimension D = 2 montrent des transitions du second ordre pour les interfaces avec β ≈ 1/3 [104, 105, 106]. Cependant dans le cas des systèmes périodiques des exposants variés sont trouvés pour : les ondes de densité de charge β = 0.65 ± 0.05 [107] et β = 0.64 ± 0.03 [108], les cristaux de Wigner β ∼ 0.66 dans [109], les colloïdes avec β = 0.66 ± 0.02 pour [96], β ≈ 0.5 dans [110] et β = 0.92 ± 0.01 chez [111], ou encore dans des systèmes de type stripes [42] avec β = 0.35. Notons qu’une étude du réseau de vortex à D = 3 a évalué β = 0.65 ± 0.01 [112], alors que pour un réseau de vortex à D = 2 une valeur surprenante de exposant β = 1.11 ± 0.05 (β > 1) a été mesurée.

Le modèle à une particule 

Un modèle simple permettant de rendre compte du dépiégeage est réalisé à partir du modèle à une particule (i.e. le single-particle modèle) dans lequel une particule, représentant un vortex dans notre cas, se déplaçant dans un potentiel périodique sinusoïdal unidimensionnel noté V (et représentant le potentiel de piégeage eectif) est soumise à une force d’entraînement F. A l’origine ce modèle a été appliqué au cas des ondes de densité de charge [79]. L’équation sur-amortie de la dynamique s’écrit : η dx dt = F − dV dx (4.10) où η est le coecient de viscosité. En terme de système dynamique nous avons à faire à un ot du premier ordre avec une bifurcation n÷ud-col contrôlée par F. En supposant que Fc est la valeur maximale de dV dx , alors pour F < Fc le système présente deux points xes, l’un stable et l’autre instable. La particule reste piégée au niveau du point d’équilibre stable qui est attracteur. Lorsque F tend vers Fc les deux points xes se rapprochent et fusionnent au niveau de F = Fc en un seul point xe semi-stable : le point attracteur disparait et le système est déstabilisé. Finalement pour F > Fc il y a disparition de tout point xe et la particule avance constamment. Un calcul du temps T mis par la particule pour parcourir une période du potentiel peut s’eectuer à partir de l’intégration de l’équation (4.10). On obtient ainsi T ∝ (F − Fc) −1/2 , et donc une vitesse moyenne de la particule : v ∝ (F − Fc) 1/2 (4.11) Ainsi, la vitesse au seuil de la transition de dépiégeage est caractérisée par un exposant critique β = 1 2 et le dépiégeage est continu. Le modèle est discuté plus en détail dans [41] en relation avec le dépiégeage d’un ligne. Ce modèle est très utile dans la suite pour caractériser des eets de taille nie de la simulation.

Considérations numériques

 Dans cette partie nous revenons sur le choix des paramètres de simulation an d’obtenir une équation de la dynamique qui corresponde à l’équation sur-amortie utilisée couramment pour les vortex. Nous présentons également la machine de calcul utilisée pour nos simulations. Quelques tests de performances sont aussi exposés.

Limite sur-amortie

 Afin de résoudre le système d’équations (3.14), nous ne pouvons pas poser m = 0 an d’éliminer le terme inertiel mi d 2 #”ri dt2 sans faire diverger les solutions de l’équation (cela se comprend aisément à partir de la relation (3.2c) du schéma d’intégration), et nous devons alors choisir correctement les paramètres m et η an d’avoir le terme inertiel qui soit très inférieur au terme frictionnel η d #”ri dt . Comme précisé dans le paragraphe 3.4.2 concernant les paramètres utilisés lors de nos simulations, nous avons pris η m = 0.1. Ce choix permet à l’équation du mouvement disponible dans le code de dynamique moléculaire (i.e. l’équation de Newton du second ordre) d’atteindre la limite sur-amortie de la dynamique telle qu’elle est utilisée dans la littérature (équation du premier ordre). Dans le programme LAMMPS il apparait que la dénition de la viscosité η fait intervenir la masse des vortex m et un paramètre d’amortissement (damping et noté damp en anglais) suivant le rapport η = m damp. Nous avons eectué plusieurs tests an de savoir quel était le meilleur choix à prendre pour m et damp an d’obtenir la limite attendue. Nous avons observé que pour m xé la diminution du paramètre damp fait diminuer le rapport inertiel sur frictionnel, néanmoins le temps de la simulation augmente (en eet à pas de temps ∆t xé η va modier la vitesse des vortex et donc le temps de la simulation). A l’inverse, lorsque damp est xé et m diminue le rapport inertiel sur frictionnel augmente mais le temps de simulation diminue. Il faut donc faire un compromis entre un rapport du terme inertiel sur le terme frictionnel le plus faible possible et le meilleur temps de simulation réalisable : la valeur de η = 10−3 (avec m = 10−2 et damp = 10) correspond à cette valeur optimale. Pour des valeurs supérieures η ≥ 10−3 l’équation diérentielle d