Dans le modele avec ventes perdues, les ruptures de stock sont toujours autorisees mais leur traitement est di erent. On suppose qu’une demande qui n’est pas satisfaite immediatement est perdue et entra^ne un co^ut cl (l pour lost en anglais). On peut imaginer que cl represente la marge realisee sur la vente d’une unite de produit ou encore le co^ut additionnel pour procurer rapidement une unite de produit au client en cas de rupture de stock.

Nous nous interessons toujours au probleme de minimiser les co^uts moyens sur un horizon in ni. Considerons deux politiques totalement opposees :

| Politique 1 : satisfaire toutes les demandes et adopter la politique optimale (r ; q ) p du modele de Wilson standard. Le co^ut moyen est alors C1 =  c + 2 kh .

| Politique 2 : ne jamais commander et ne jamais satisfaire de demande. Le co^ut moyen vaut alors C2 = cl .

Il est clair que si cl c, il n’y a aucun inter^et a maintenir l’activite et donc a avoir du stock. Nous montrons dans le theoreme suivant que soit la politique 1 est optimale, soit la politique 2 est optimale.

Theoreme 2.2. Si C1 < C2, la politique 1 est optimale. Si C1 > C2, la politique 2 est optimale. Si C1 = C2, les 2 politiques sont equivalentes et optimales.

Demonstration. Soit une politique quelconque telle que une proportion p des demandes est satisfaite et une proportion (1 p) des demandes n’est pas satisfaite. On peut diviser l’horizon de temps en deux : [0; 1] = A1 [ A2 ou A1 designe l’ensemble des periodes ou la demande est satisfaite et A2 l’ensemble des periodes ou la demande n’est pas satisfaite. Notons C le co^ut moyen de la politique et Ci le co^ut moyen restreint a l’intervalle Ai. Nous avons d’une part C1 C1. D’autre part, nous avons C2 = C2 = cl. Il vient alors :

C  = pC + (1  p)C

pC1 + (1  p)C2

= p(C1 C2) + C2

Si C1 C2, nous avons C C2. La politique 2 atteint la borne inferieure et est donc optimale. Par un raisonnement analogue, si C1 C2, nous avons C C1. La politique 1 atteint la borne inferieure et est donc optimale.

Nous allons maintenant considerer un reseau logistique avec plusieurs stocks. On peut representer un tel systeme par un graphe orient G = (V; E) ou V designe l’ensemble des sommets du graphe et E l’ensemble des arcs orientes du graphe. Un sommet du graphe est un point de stockage et un arc relie le sommet i au sommet j si i est fournisseur de j. On dira que j est un successeur immediat de i si (i; j) est un arc du graphe. De m^eme, on dira que i est un predecesseur immediat de j si (i; j) est un arc du graphe.

On distingue di erents types de reseaux logistiques :

| Serie ( gure 3.2) : un sommet possede au plus un successeur immediat et au plus un predecesseur immediat.

| Assemblage ( gure 3.3) : un sommet possede au plus un successeur mais peut posseder plusieurs predecesseurs immediats.

| Distribution ( gure 3.4) : un sommet possede au plus un predecesseur immediat mais peut posseder plusieurs successeurs immediats.

| Arbre ( gure 3.5) : il n’y a pas de cycles dans le graphe non-orient  associe .

| General ( gure 3.1) : le graphe peut avoir n’importe quelle structure, notamment des cycles dans le graphe non orient associe

Nous allons etendre dans cette section le modele de Wilson (chapitre 1) a un modele serie. Numerotons de 1 a J les di erents etages, de telle sorte que l’etage j soit le fournisseur de l’etage j + 1 pour 1 j J 1 ( gure 3.6).

Pour fabriquer 1 unite de stock j, l’etage j a besoin d’exactement 1 unite du stock j 1 ( j > 0). Le stock J sert a satisfaire la demande nale, continue de taux . Le stock 1 s’approvisionne a l’exterieur du systeme, sans contrainte de capacite. Les caracteristiques de l’etage j sont les suivantes :

| Lj = Delai d’approvisionnement

| hj = Co^ut de possession d’une unite de stock pendant une unite de temps

| kj = Co^ut  xe d’approvisionnement j

| cj = Co^ut variable d’approvisionnement

Nous supposerons dans un premier temps que h1 h2 hJ . Cette hypothese est realiste, dans la mesure ou la valeur des produits augmentent avec l’etage (et donc les co^uts nanciers). Par ailleurs, les co^uts de manutention ont tendance aussi a augmenter avec l’etage.

L’objectif sera a nouveau de trouver une politique d’approvisionnement qui minimise les co^uts moyens a horizon in ni, sans ruptures de stock.

Les co^uts variables sont independants de la politique utilisee et nous les supposerons nuls par la suite (cj = 0). En outre, nous supposerons que les delais d’approvisionnement sont nuls (Lj = 0). Nous pourrons toujours ramener l’etude d’un probleme avec des Lj > 0 au cas avec des Lj = 0.

Nous allons tout d’abord de nir les notions de politique ZIO, de politique a intervalles stationnaires et de politique imbriquee.

Une politique d’approvisionnement est dite ZIO (Zero Inventory Ordering) si, a chaque etage, les commandes ne peuvent arriver que lorsque le stock est nul.

Une politique d’approvisionnement est dite a intervalles stationnaires si les commandes arrivent a intervalles reguliers a l’etage j, pour tout j.

On peut decrire une politique a intervalles stationnaires par le vecteur u = (u1; ; uJ ) ou uj est la periode d’approvisionnement de l’etage j. Si une politique d’approvisionne-ment est a intervalles stationnaires et ZIO, les quantites commandees sont necessairement constantes et on les notera (q1; ; qJ ). La relation suivante est alors valable a chaque etage

Une politique d’approvisionnement est dite imbriquee si l’etage j+1 commande a chaque fois que l’etage j commande.

Pour une politique imbriquee, une commande a l’etage j declenche automatiquement une commande a l’etage j + 1. Ainsi, l’etage J (qui voit la demande nale) est celui qui commande le plus souvent tandis que l’etage 1, qui commande a l’exterieur du systeme, est celui qui commande le moins souvent.

Soit une une politique a intervalles stationnaires (u1; ; uJ ) qui serait par ailleurs imbriquee et ZIO. Les periodes de commande veri ent :

uj = ajuj+1 avec aj 2 IN

Structure de la politique optimale

Theoreme 3.1. Il existe une politique optimale qui soit imbriquee, a intervalles station-naires et ZIO. Demonstration : La demonstration de ce theoreme sera admise dans le cadre de ce cours.

Pour une demonstration complete, voir par exemple (Zipkin, 2000, p.135-136).

Nous allons maintenant nous restreindre a l’etude des politiques imbriquees, a intervalles stationnaires et ZIO. Pour qu’une telle politique soit realisable, il faut que les periodes veri ent :

uj = ajuj+1 avec aj 2 IN

On de nit l’echelon j comme l’ensemble des etages en aval de j, c’est a dire les etages i j (voir gure 3.7).

On de nit alors le stock local et le stock echelon comme suit (a l’instant t) :

|SPj(t) = stock physique local a l’etage j

|SPje(t) = PJSPi(t) = Stock physique de l’echelon j

Dans un systeme serie, il est plus pertinent de prendre les decisions d’approvisionnement sur la base du stock echelon plut^ot que sur la base du stock local. En e et, si il y a beaucoup de produits en stock (ou en transit) entre l’etage j et le dernier etage J, il n’est sans doute pas interessant de reapprovisionner l’etage j puisque il y a deja su samment de produits en transit ou en stock pour satisfaire la demande nale.

L’evolution d’un stock echelon est tres simple et correspond a celle du modele de Wilson de periode uj et de demande de taux . En e et, le stock echelon SPje n’est modi e que par des commandes passes par l’etage j et par la demande nale . Lorsque qu’une commande est passe entre deux etages k et k + 1 (j k < J), le stock echelon n’est pas modifie.

Pour un systeme a trois etages (J = 3), la gure 3.8 represente l’evolution des stocks locaux (en trait plein) et echelons (en pointilles) pour une politique stationnaire, imbriquee et ZIO de periodes u = (6; 3; 1). Nous avons suppose que l’etage 3 commande trois fois plus souvent que l’etage 2 qui commande lui-m^eme deux fois plus souvent que l’etage 1. Au dernier etage (etage 3), l’evolution du stock est similaire a celle du modele de Wilson. Aux autres etages, l’evolution des stocks est plus complexe.