Décollement d’un ﬁlm soumis à l’injection d’un ﬂuide non-newtonien

Décollement d’un ﬁlm soumis à l’injection d’un ﬂuide non-newtonien

Ce chapitre est consacré à l’écriture et la résolution de l’ensemble d’équations modélisant l’évolution d’un ﬁlm élastique collé à un substrat parfaitement rigide dont l’interface est complètement remplie d’un ﬂuide visqueux. Dans l’objectif d’écrire un modèle simple admettant des solutions pouvant s’exprimer expli- citement, le retardement entre fronts de propagation du ﬂuide et de la ﬁssure est supposé nul. La section 2.1 sera consacrée à la formulation du problème, qui sera adimensionnée à la section 2.2. Il sera ensuite analysé en utilisant la méthode des développements asymptotiques (section 2.3), et enﬁn les résultats seront discutés (section 2.4).Le modèle proposé dans ce chapitre prend cependant en compte les trois as- pects principaux décrits dans le chapitre précédent, à savoir la réponse élastique du ﬁlm soumis à l’injection du ﬂuide, l’écoulement développé à l’interface et l’évolution de la région décollée, qui sera désormais nommée « ﬁssure ». Celle-ci sera supposée inﬁnie dans une direction, selon laquelle le problème est donc supposé invariant.La formulation de l’ensemble des équations constituant le modèle peut alorsse faire avec des fonctions dépendant d’une unique variable spatiale. Dans ce contexte la réponse élastique du ﬁlm sera modélisée comme un ﬁl simplement appuyé sur les extrémités de la région décollée [46]. L’écoulement sera modéliséLe ﬁlm collé au substrat est modélisé comme un ﬁl ﬂexible, décollé unique- ment sur la région ] − L, L[. La réponse élastique du ﬁlm est alors déterminée à l’aide de l’équation d’équilibre du ﬁl écrite sur cette région.Si l’on suppose que l’écoulement de ﬂuide développé à l’intérieur de la ﬁssure transmet la pression du ﬂuide sur le ﬁlm comme une charge perpendiculaire P(T , X)n (avec n le vecteur normal au ﬁl), alors l’équation d’équilibre du ﬁl s’écrit [46],avec, N l’eﬀort normal dans le ﬁl, S la cordonnée curviligne décrivant le ﬁl et t, n les vecteurs tangent et normal au point de cordonnée S. Dans le cas d’un ﬁl dont son déplacement vertical est décrite par la fonction H(T , X), la courbure κ du ﬁl est déterminé par la relation.

d’où on conclut que l’eﬀort normal est constant et positif le long du ﬁl. La res- triction sur la positivité est liée à la stabilité de la position du ﬁl, résultant de l’équation d’équilibre précédent [46], et il est liée alors au choix de la modélisa- tion du ﬁlm comme un ﬁl. Dans le cas d’un eﬀort normal nul, les modèles d’arc ou de poutre résultent plus pertinents. De plus, l’équation d’équilibre s’écrit,de lubriﬁcation, les équations de Navier-Stokes modélisant l’écoulement peuvent être simpliﬁées et réduites à une version unidimensionnelle nommée équation de Reynolds. L’hypothèse de lubriﬁcation consiste à supposer que l’écoulement se développe dans un domaine mince, c’est-à-dire que l’une des dimensions est très petite devant l’autre. Dans la plupart des applications mentionnées au chapitre 1, on observe que la dimension liée à la hauteur de la ﬁssure H(T , X) est très petite par rapport à la longueur de la ﬁssure L(T ). L’hypothèse de lubriﬁcation est alors applicable.Le présent paragraphe est consacré à la simpliﬁcation des équations de la mécanique des ﬂuides qui en résulte. En considérant la nature visqueuse et incompressible du ﬂuide, d’après Guyon [25], les équations de Navier-Stokes s’écrivent

Il est de plus nécessaire de se donner une loi capable de décrire le comportement visqueux du ﬂuide. On considère que le modèle de « loi de puissance » est le plus adapté pour modéliser le comportement des ﬂuides comme le magma [12] ou la plus part des ﬂuides utilisées dans la fracturation hydraulique [36]. Cette loi de comportement postule que le tenseur des contraintes est liée au champ vitesse à travers du taux de glissement, qui est déﬁnie comme ˙où le paramètre M est nommé la consistance du ﬂuide et n ≥ 0 est l’indice d’écou- lement. Ces deux paramètres du ﬂuide servent à modéliser le comportement du ﬂuide visqueux. Avec ce modèle et selon la valeur de n on peut décrire des ﬂuides rhéoépaississant (n > 1), ﬂuides newtoniens (n = 1) , rhéoﬂuidiﬁant (n ∈]0, 1[) ou ﬂuides parfaitement plastiques (n = 0) (voir le chapitre 4 du Guyon [25] pour description plus précise de ces types de ﬂuides). Alors, d’après les équations réduites de Navier-Stokes .