Cours statistique: Principes et méthodes statistiques

Sommaire: Principes et méthodes statistiques

1 Introduction
1.1 Definition et domaines d’application de la statistique
1.2 La demarche statistique
1.3 Objectifs et plan du cours
2 Statistique descriptive
2.1 Terminologie
2.2 Representations graphiques
2.2.1 Variables discretes
2.2.1.1. Variables qualitatives
2.2.1.2. Variables quantitatives
2.2.1.3. Choix d’un modele probabiliste discret
2.2.2 Variables continues
2.2.2.1. Histogramme et polygone des frequences
2.2.2.2. Fonction de repartition empirique
2.2.2.3. Les graphes de probabilites
2.3 Indicateurs statistiques
2.3.1 Indicateurs de localisation ou de tendance centrale
2.3.1.1. La moyenne empirique
2.3.1.2. Les valeurs extr^emes
2.3.1.3. La mediane empirique
2.3.1.4. Caracterisation des indicateurs de localisation
2.3.2 Indicateurs de dispersion ou de variabilite
2.3.2.1. Variance et ecart-type empiriques
2.3.2.2. L’etendue
2.3.2.3. Les quantiles empiriques
3 Estimation ponctuelle
3.1 Introduction
3.2 Methodes d’estimation
3.2.1 Denition d’un estimateur
3.2.2 La methode des moments
3.2.2.1. L’estimateur des moments (EMM)
3.2.2.2. Exemples
3.2.3 La methode du maximum de vraisemblance
3.2.3.1. La fonction de vraisemblance
3.2.3.2. Exemple introductif
3.2.3.3. L’estimateur de maximum de vraisemblance (EMV)
3.2.3.4. Exemples
3.3 Qualite d’un estimateur
3.3.1 Estimateur sans biais et de variance minimale (ESBVM)
3.3.2 Quantite d’information, ecacite d’un estimateur
3.4 Proprietes des EMM et des EMV
3.4.1 Proprietes des estimateurs des moments
3.4.2 Proprietes des estimateurs de maximum de vraisemblance
3.4.3 Exemples
4 Intervalles de conance
4.1 Problematique et denition
4.2 Intervalles de conance pour les parametres de la loi normale
4.2.1 Intervalle de conance pour la moyenne
4.2.2 Intervalle de conance pour la variance
4.3 Intervalle de conance pour une proportion
5 Tests d’hypotheses
5.1 Introduction : le probleme de decision
5.2 Formalisation du probleme de test parametrique sur un echantillon
5.2.1 Tests d’hypotheses simples
5.2.2 Tests d’hypotheses composites
5.3 Tests sur la moyenne d’une loi normale
5.3.1 Exemple introductif : essais therapeutiques
5.3.2 Premiere idee
5.3.3 Deuxieme idee
5.3.4 Troisieme idee
5.3.5 Exemple
5.3.6 La p-valeur
5.3.7 Remarques
5.3.8 Les tests de Student
5.4 Lien entre tests d’hypotheses et intervalles de conance
5.5 Procedure pour construire un test d’hypotheses
5.6 Tests sur la variance d’une loi normale
5.7 Tests sur une proportion
5.8 Test de comparaison de deux echantillons
5.8.1 Introduction
5.8.2 Comparaison de deux echantillons gaussiens independants
5.8.2.1. Test de Fisher de comparaison des variances
5.8.2.2. Test de Student de comparaison des moyennes
5.8.3 Comparaison de deux proportions
5.8.4 Comparaison d’echantillons gaussiens apparies
5.9 Le test du x2
5.9.1 Le test du x2 sur les probabilites d’evenements
5.9.2 Test d’adequation du x2 a une loi entierement speciee
5.9.3 Test d’adequation du x2 a une famille de lois
6 La regression lineaire
6.1 Introduction
6.2 Le modele de regression lineaire simple
6.3 Estimation par la methode des moindres carres
6.4 Le modele lineaire simple gaussien
6.4.1 Denition du modele et estimation des parametres
6.4.2 Maximum de vraisemblance
6.4.3 Intervalles de conance et tests d’hypotheses
6.5 Etude complete de l’exemple en R
7 Annexe A : Rappels de probabilites pour la statistique
7.1 Variables aleatoires reelles
7.1.1 Loi de probabilite d’une variable aleatoire
7.1.2 Variables aleatoires discretes et continues
7.1.3 Moments et quantiles d’une variable aleatoire reelle
7.2 Vecteurs aleatoires reels
7.2.1 Loi de probabilite d’un vecteur aleatoire
7.2.2 Esperance et matrice de covariance d’un vecteur aleatoire
7.3 Convergences et applications
7.4 Quelques resultats sur quelques lois de probabilite usuelles
7.4.1 Loi binomiale
7.4.2 Loi geometrique
7.4.3 Loi de Poisson
7.4.4 Loi exponentielle
7.4.5 Loi gamma et loi du chi-2
7.4.6 Loi normale
7.4.7 Lois de Student et de Fisher-Snedecor
8 Annexe B : Lois de probabilite usuelles
8.1 Caracteristiques des lois usuelles
8.1.1 Variables aleatoires reelles discretes
8.1.2 Variables aleatoires reelles continues
8.1.3 Vecteurs aleatoires dans IN d et dans IR d
8.2 Tables de lois
8.2.1 Table 1 de la loi normale centree reduite
8.2.2 Table 2 de la loi normale centree reduite
8.2.3 Table de la loi du x2
8.2.4 Table de la loi de Student
8.2.5 Tables de la loi de Fisher-Snedecor
8.3 Exemples de representations de probabilites et de densites
8.3.1 Lois discretes
8.3.2 Lois continues
9 Annexe C : Introduction a R
9.1 Les bases de R
9.2 Commandes pour les deux premiers TD en R
9.3 Quelques commandes utiles de R
9.4 Les lois de probabilite usuelles en R
9.5 Les principaux tests d’hypotheses en R
9.6 Les graphiques dans R
9.6.1 Graphique simple
9.6.2 Autres fonctions graphiques
9.6.3 Parametrage de la commande plot
Bibliographie

Extrait du cours

Chapitre 1 Introduction
1.1 Denition et domaines d’application de la statistique
La statistique est la science dont l’objet est de recueillir, de traiter et d’analyser des donnees issues de l’observation de phenomenes aleatoires, c’est-a-dire dans lesquels le hasard intervient.
L’analyse des donnees est utilisee pour decrire les phenomenes etudies, faire des previsions et prendre des decisions a leur sujet. En cela, la statistique est un outil essentiel pour la comprehension et la gestion des phenomenes complexes.
Les donnees etudiees peuvent etre de toute nature, ce qui rend la statistique utile dans tous les champs disciplinaires et explique pourquoi elle est enseignee dans toutes les lieres universitaires, de l’economie a la biologie en passant par la psychologie, et bien sur les sciences de l’ingenieur.
Donnons quelques exemples d’utilisation de la statistique dans divers domaines.
- economie, assurance, nance : previsions econometriques, analyse de la consomma-tion des menages, xation des primes d’assurance et franchises, etudes quantitatives de marches, gestion de portefeuille, evaluation d’actifs nanciers, …
- biologie, medecine : essais therapeutiques, epidemiologie, dynamique des populations, analyse du genome, …
- sciences de la terre : previsions meteorologiques, exploration petroliere, …
- sciences humaines : enquetes d’opinion, sondages, etudes de populations, …
- sciences de l’ingenieur : controle de qualite, matrise statistique des procedes (metho- de \six-sigma »), surete de fonctionnement (abilite, disponibilite, securite,…), matrise des risques industriels, evaluation des performances des systemes complexes, …
- sciences de l’information et de la communication : traitement des images et des signaux, reconnaissance des formes et de la parole, analyse exploratoire des grandes bases de donnees, analyse des reseaux de communication, …
- physique : mecanique statistique, theorie cinetique des gaz, …
- etc…

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