Cours statistique modélisation et statistique spatiales

1 Modèle spatial du second ordre et géostatistique 
1.1 Rappels sur les processus stochastiques
1.2 Processus stationnaire
1.2.1 Définitions, exemples
1.2.2 Représentation spectrale d’une covariance
1.3 Processus intrinsèque et variogramme
1.3.1 Définition, exemples et propriétés
1.3.2 Variogramme d’un processus stationnaire
1.3.3 Exemples de covariances et de variogrammes
1.3.4 Anisotropies
1.4 Propriétés géométriques : continuité, différentiabilité
1.4.1 Continuité et différentiabilité : le cas stationnaire
1.5 Modélisation spatiale par convolution
1.5.1 Modèle continu
1.5.2 Convolution discrète
1.6 Modèles spatio-temporels
1.7 Les modèles auto-régressifs spatiaux
1.7.1 Modèles MA, ARMA stationnaires
1.7.2 Auto-régression simultanée stationnaire
1.7.3 Auto-régression conditionnelle stationnaire
1.7.4 AR non-stationnaire sur un réseau fini S
1.7.5 Modèles auto-régressifs avec covariables : SARX
1.8 Le modèle de régression spatiale
1.9 Prédiction à covariance connue
1.9.1 Le krigeage simple
1.9.2 Krigeage universel
1.9.3 Expériences numériques
Exercices
2 Champ de Gibbs-Markov sur réseau
2.1 Recollement de lois conditionnelles
2.2 Champ de Gibbs sur S
2.2.1 Potentiel d’interaction et spécification de Gibbs
2.2.2 Exemples de spécification de Gibbs
2.3 Champ de Markov et champ de Gibbs
2.3.1 Définitions : cliques, champ de Markov
2.3.2 Le théorème de Hammersley-Clifford
2.4 Les auto-modèles markoviens de Besag(AMM)
2.4.1 Recollement de lois conditionnelles et auto-modèle
2.4.2 Exemples d’auto-modèles markoviens
2.5 Dynamique d’un champ de Markov
2.5.1 Chaîne de Markov de champ de Markov (CMCM)
2.5.2 Exemples de dynamiques
Exercices
3 Processus ponctuels spatiaux 
3.1 Définitions et notations
3.1.1 Espace exponentiel
3.1.2 Moments d’un processus ponctuel
3.1.3 Exemples de processus ponctuels
3.2 Processus ponctuel de Poisson
3.3 Processus ponctuel de Cox
3.3.1 Processus de Cox log-Gaussien
3.3.2 PP doublement poissonnien
3.4 Densité d’un processus ponctuel
3.4.1 Définition
3.4.2 Processus ponctuel de Gibbs
3.5 Distances au plus proche voisind’unPP
3.5.1 Les mesures de Palm
3.5.2 Deux distances au ppv de X
3.5.3 Moment réduit d’ordre 2
3.6 Processus ponctuel de Markov
3.6.1 Propriété de Markov au sens de Ripley-Kelly
3.6.2 Propriété de Markovaux ppv
3.6.3 PP de Gibbs sur l’espace Rd
Exercices
4 Simulation des modèles spatiaux
4.1 Convergence d’une chaîne de Markov
4.1.1 Loi des grands nombres et TCL pour une chaîne homogène
4.2 Deux algorithmes markoviens de simulation
4.2.1 Echantillonneur de Gibbs sur un espace produit
4.2.2 L’algorithme de Metropolis-Hastings (MH)
4.3 Simulation d’un champ de Markov sur un réseau
4.3.1 Les deux algorithmes de base
4.3.2 Exemples
4.3.3 Simulation sous contrainte
4.3.4 Simulation d’une dynamique de champ de Markov
4.4 Simulation d’un processus ponctuel
4.4.1 Simulation conditionnelle à un nombre fixé de points
4.4.2 Simulation inconditionnelle
4.4.3 Simulation de PP de Cox
4.5 Performance et contrôle des méthodes MCMC
4.5.1 Performances d’une méthode MCMC
4.5.2 Deux méthodes de contrôle de la convergence
4.6 Simulation exacte depuis le passé
4.6.1 L’algorithme de Propp et Wilson
4.6.2 Deux aménagements de l’algorithme
4.7 Simulation d’un champ gaussien sur S ⊆ Rd
4.7.1 Simulation d’un champ gaussien stationnaire
4.7.2 Simulation gaussienne conditionnelle
Exercices
5 Statistique des modèles spatiaux
5.1 Estimation en géostatistique
5.1.1 Analyse du nuage variographique
5.1.2 Estimation empirique d’un variogramme
5.1.3 Estimation paramétrique d’un modèle de variogramme
5.1.4 Estimation du variogramme en présence d’une tendance
5.1.5 Validation d’un modèle de variogramme
5.2 Autocorrélation sur un réseau spatial
5.2.1 L’indice de Moran
5.2.2 Test asymptotique d’indépendance spatiale
5.2.3 L’indice de Geary
5.2.4 Test de permutation d’indépendance spatiale
5.3 Statistique des champs du second ordre
5.3.1 Estimation d’un modèle stationnaire sur Zd
5.3.2 Estimation d’un modèle auto-régressif
5.3.3 Estimation du maximum de vraisemblance
5.3.4 Estimation d’une régression spatiale
5.4 Estimation d’un champ de Markov
5.4.1 Le maximum de vraisemblance
5.4.2 Pseudo-vraisemblance conditionnelle de Besag
5.4.3 La méthode de codage
5.4.4 Précisions comparées du MV, MPVC et du codage
5.4.5 Identification du support d’un champ de Markov
5.5 Statistique pour un processus ponctuel spatial
5.5.1 Test d’homogénéité spatiale basé sur les quadrats
5.5.2 Estimation de l’intensité d’un PP
5.5.3 Estimation des caractéristiques du second ordre
5.5.4 Estimation d’un modèle par ametrique de PP
5.5.5 Pseudo-vraisemblance conditionnelle d’un PP
5.5.6 Approximation Monte Carlo d’une vraisemblance de Gibbs
5.5.7 Résidus d’un processus ponctuel
5.6 Modèle hiérarchique spatial et statistique bayésienne
5.6.1 Régression spatiale et krigeage bayésien
5.6.2 Modèle linéaire généralisé hiérarchique spatial
Exercices
Appendices
A Simulation de variables aléatoires 
A.1 Lamétho de d’inversion
A.2 Simulation d’une chaîne de Markov à nombre fini d’état
A.3 Laméthode de rejet
A.4 Simulation d’une loi gaussienne
B Théorèmes limites pour un champ aléatoire 
B.1 Ergodicité et lois des grands nombres
B.1.1 Ergodicité et théorème ergodique
B.1.2 Exemples de processus ergodiques
B.1.3 Ergodicité et LGN faible dans L2
B.1.4 LFGN sous conditions L2
B.2 Coefficient de mélange fort
B.3 TCL pour un champ mélangeant
B.4 TCL pour une fonctionnelle d’un champ de Markov
C Estimation par minimum de contraste 
C.1 Définitions et exemples
C.2 Propriétés asymptotiques
C.2.1 Convergence de l’estimateur
C.2.2 Normalité asymptotique
C.3 Identification d’un modèle par contraste pénalisé
C.4 Preuve de deux résultats du Chapitre 5
C.4.1 Variance de l’estimateur du MV d’une régression gaussienne
C.4.2 Consistance du MV pour un champ de Markov stationnaire
D Logiciels 
Littérature
Index

Modèle spatial du second ordre et géostatistique

Soit S ⊆ Rd un ensemble spatial. Un champ X sur S à valeur dans l’espace d’état E est la donnée d’une collection X={Xs ,s∈ S} de variables aléatoires (v.a.) indexées par S et à valeurs dans E. Ce chapitre est consacré à l’étude des champs du second ordre, c’est-à-dire des champs à valeurs réelles, les variances des Xs étant finies. On étudiera également la classe plus large des champs intrinsèques qui sont à accroissements de variances finies. Deux approches
seront considérées.
Dans l’approche géostatistique, S est un sous-ensemble continu de Rd et on modélise X “au second ordre” par sa fonction de covariance ou par son variogramme. Par exemple, pour d =2, s =(x, y) ∈ S est repéré par ses coordonnées géographiques et si d =3, on ajoute l’altitude (ou la profondeur) z. Une évolution spatio-temporelle dans l’espace peut aussi être modélisée par des “sites” espace-temps (s, t) ∈ R3 × R + , s repérant l’espace et t le temps.
Développée initialement pour la prévision des réserves minières d’une zone d’exploration S ⊆ R3, la géostatistique est aujourd’hui utilisée dans des domaines variés (cf. Chilès et Delfiner [43] ; Diggle et Ribeiro [63]). Citons entre autres : les sciences de la terre et la prospection minière [134; 152], l’environnement [142], l’épidémiologie, l’agronomie, la planification des expériences numériques [193]. Un objectif central de la géostatistique est de dresser des cartes de prévision de X par krigeage sur tout S à partir d’un nombre fini d’observations.
La deuxième approche utilise des modèles d’auto-régression (AR). Elle s’applique lorsque S est un réseau discret de sites (on dira aussi un lattice) :
S peut être régulier, par exemple S ⊂ Zd (imagerie, données satellitaires, radiographie ; [42; 224]) ou non (économétrie, épidémiologie ; [45; 7; 105]). Ici, la structure de la corrélation (du variogramme) spatiale découlera du modèle AR retenu. Ces modèles sont bien adaptés lorsque les mesures sont agrégées par unités spatiales : par exemple, le pourcentage d’une catégorie dans une unité administrative en économétrie, le nombre de cas d’une maladie dans un canton s en épidémiologie, la production intégrée sur toute une parcelle s en agronomie.

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