Cours stabilité des systèmes linéaires

Cours stabilité des systèmes linéaires, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

OSCILLATEURS AMORTIS

1) RÉGIME LIBRE, RÉPONSE À UN ÉCHELON

• analyser sur des relevés expérimentaux l’évolution de la forme des régimes transitoires en fonctions des paramètres caractéristiques
• prévoir l’évolution du système à partir de confédérations énergétiques
• établir l’équation différentielle sous forme canonique afin d’identifier la pulsation propre et le facteur de qualité
• connaitre la nature de la réponse en fonction de la valeur du facteur de qualité
• déterminer la réponse détaillée dans le cas du régime libre ou du système soumis à un échelon en cherchant les racines du polynôme caractéristique
• déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire selon la valeur du facteur de qualité

2) RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ , IMPEDANCES COMPLEXES

• établir et connaitre les impédances complexes pour R, L et C et leurs associations série et/ou parallèle

3) OSCILLATEUR électrique (ou mécanique) soumis à unre EXCITATION SINUSOÏDALE RÉSONANCE (avec un n)

• utiliser la construction de Fresnel ou la méthode des complexes
• à partir de graphes expérimentaux d’amplitude et de phase, déterminer la pulsation propre et le facteur de qualité dans le cas de la résonance en intensité ou en vitesse
• avec la résolution numérique, mettre en évidence le rôle du facteur de qualité dans la résonance en élongation
• relier l’acuité d’une résonance forte au facteur de qualité

EQUATION DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
COEFFICIENTS CONSTANTS avec SECOND MEMBRE CONSTANT

• On met le coefficient 1 devant le terme dérivé du plus grand ordre
• Le coefficient du terme dérivé du premier ordre traduit les pertes énergétiques (frottements, résistance …) et ainsi l’amortissement de l’oscillateur

nb : s’il est nul on retrouve une équation harmonique (oscillateur harmonique à énergie totale constante)

• Le coefficient du terme dérivé du premier ordre fait apparaitre le terme d’amortissement l > 0 et on l’écrit sous forme d’un terme paire 2l ; le coefficient du terme d’ordre zéro fait apparaitre le terme de pulsation propre w₀² (de l’oscillateur non amorti) ; le second membre s’écrit en faisant apparaitre la pulsation propre Cw₀²

Définition : soit une grandeur sinusoïdale : s(t) = S cos (wt + j)  j : phase à l’origine     (wt + j) : phase à l’instant t
On lui associe un vecteur de norme S tournant à vitesse angulaire w (on dessine à t = 0)
Sa projection sur l’axe des abscisses est donc s(t) = S cos (wt + j)
Intérêts

• Calcul de déphasage entre deux grandeurs (ex : u et i)
• Associations série de dipôles en régime sinusoïdal
• * même courant dans chaque donc i référence de phase
• U_R est en phase avec i
• U_L est en quadrature avance avec i
• * U_C est en quadrature retard avec i

RAPPELS
Si on s’intéresse aux fréquences pour lesquelles on a cette puissance maximale divisée par 2, c’est-à-dire des amplitudes divisées par Ö2 : ce sont les pulsations de coupures. La bande de pulsation entre ces 2 dernières, c’est à dire la bande dans laquelle la puissance est supérieure à la moitié de la puissance maximale, est la bande passante à – 3 décibels.

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