Cours probabilités et analyses multicritères

Sources des incertitudes

Une variable aléatoire a une incertitude d’autant plus faible que la mesure est fidèle, juste et que le système d’acquisition a une bonne résolution. La justesse est assurée par l’absence d’erreurs systématiques. Il peut exister un biais qui rend la mesure inexacte (même si la dispersion est faible). Erreurs de lecture, absence de contrôle et de corrections de facteurs influents, incertitude due à la modélisation, etc. Tous les biais doivent être identifiés et estimés afin d’être ajoutés à la dispersion, le système devient alors juste. La fidélité provient de la répétabilité et de la reproductibilité des mesures. Les valeurs d’un système fidèle sont peu dispersées. La dispersion peut provenir d’erreurs accidentelles ou d’un phénomène physique par essence aléatoire (comme par exemple la radioactivité). Les expérimentateurs par un travail propre, consciencieux et selon un protocole bien défini et réfléchi, pourront minimiser la dispersion. Les sources peuvent être innombrables, nous essaierons d’en identifier un maximum afin de les évaluer. La résolution de l’instrument de mesure dépend de la taille des graduations, du type du vernier ou du nombre de digits de l’affichage. A l’incertitude due à la discrétisation des mesures peuvent s’ajouter d’autres facteurs. Il faudra se référer à la notice ou contacter le fabricant pour connaître au mieux la précision de votre appareil. On peut aussi effectuer un étalonnage avec un instrument de haute précision qui sert de référence.
L’influence de ces différentes sources d’incertitude peut être illustrée par une cible et des flèches. Le centre de la cible correspond à la grandeur à mesurer et les flèches représentent les différentes mesures. Si les flèches, dans leur ensemble, ne sont pas correctement centrées, la justesse n’est pas assurée. Le resserrement des flèches représente la fidélité. La distance entre les cercles sur la cible indique la résolution. La valeur notée est celle du cercle dont la flèche est le plus proche. L’expérimentateur voit les flèches et les cercles, par contre il ne sait pas où est la cible et son centre. Il tient l’arc et son désir d’être au plus proche du centre de la cible montre la qualité et la rigueur de son travail.

Exercices

Exercice 1 : Âges Soient les âges des étudiants d’une classe {18; 20; 18; 19; 18; 18; 18; 17; 18; 19; 17; 19; 17; 21; 18}. Déterminez le mode, la médiane, la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique, l’étendue, l’écart-type, l’écart quadratique moyen et l’écart moyen6. Exercice 2 : Cartes Soit un jeux de 32 cartes. Nous tirons au hasard cinq cartes. Déterminez la probabilité d’avoir un carré d’as, puis celle d’avoir une couleur.
Exercice 3 : Champ de pesanteur Des étudiants mesurent l’intensité g du champ de pesanteur terrestre au laboratoire. Les huit binômes mesurent les valeurs suivantes en m/s² : 6,20 ; 8,35 ; 13,00 ; 8,37 ; 8,54 ; 9,67 ; 9,75 ; 10,66. a) Quel commentaire général feriez-vous en voyant ces résultats. b) Calculez la moyenne et l’écart-type. c) La dispersion des valeurs donne quelle incertitude sur la moyenne (confiance de 95%) ? Le résultat est-il cohérent avec la valeur attendue ? d) Un neuvième binôme fait une nouvelle mesure dans les mêmes conditions expérimentales. Estimez la probabilité qu’ils obtiennent un résultat entre 8 et 12 m/s².

CORRÉLATIONS ET INDÉPENDANCES

Au chapitre précédent nous n’avions qu’une grandeur aléatoire X avec ses n réalisations {xi}. Maintenant nous avons plusieurs grandeurs et un nouvel indice permet de les distinguer : Xj et ses mesures {xjk}. Xj est la jéme grandeur et xjk est la kéme observation de cette grandeur. Nous allons nous intéresser aux interactions entre différentes grandeurs. Pour illustrer, considérons un échantillon de quatre individus qui possèdent trois caractéristiques, la taille X1, le poids X2 et le mois de naissance X3. A priori, nous nous attendons à une corrélation entre la taille et le poids : plus on est grand plus on a, en général, une masse importante (corrélation positive). Par contre, nous pouvons penser que le mois de naissance n’a aucune incidence sur le poids et la taille (X3 non corrélée avec X1 et X2).