Cours mise en équation d’un système linéaire scalaire

Extrait du cours mise en équation d’un système linéaire scalaire

1. Notion de modèle -Mise en équation.
On appelle modèle d’un processus ou système monovariable la loi qui relie l’entrée x (cause) à la sortie y (effet).
L’idéal, pour appréhender l’étude d’un système, est de détailler pas à pas l’ensemble de ses éléments constitutifs. Mais cette méthode, la seule au stade de la conception d’un système automatisé, n’est pas praticable en général sur un système existant, de structure complexe ou mal connue.
Nous supposerons que l’on peut définir a priori une loi simple qui lie yà x . Les paramètres (en général peu nombreux) de la loi sont alors déterminés par des essais effectués sur le système, c’est la phase d’identificationou modélisation.
2. Transformée de Laplace.
L’étude des systèmes s’accompagne inévitablement de la manipulation d’équations différentielles. Or les opérations liées à cette manipulation sont souvent délicates et la résolution des équations n’est pas toujours simple. Pour faciliter les calculs, on utilise un outil mathématique puissant: la transformée de Laplace.
2.1 Formulation mathématique.
Transformée de Laplace.
Soit f (t ) une fonction réelle de la variable réelle t , définie pour toute valeur de t , sauf éventuellement pour certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle pour t <0.
2.2 Propriétés et théorèmes.
Les propriétés de la Tran sformée de Laplace sont réunies dans le tableau ci – après.
2.3 Table des transformées de Laplace.
Il est souvent plus simple de calculer la Transformée de Laplace d’une fonction à partir de la transformée connue d’une autre fonction en utilisant les propriétés et théorèmes énoncés au §2.2. A partir de quelques résultats de base, on peut ainsi retrouver rapidement les Transformées de Lapla ce de la plupart des fonctions utilisées en électronique ou en automatique dans les asservissements. Afin d’éviter le calcul systématique de ces fonctions de base, on les regroupe dans des tables de Transformées de Laplace. Une table résumée des Transformé es de Laplace les plus usuelles en électronique est donnée à l’Annexe 2.

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