Chapitre 1: ELEMENTS DE CALCUL VECTORIEL ET TENSORIEL
1.1 Espace euclidien
1.2 Points et vecteurs
1.3 Produit scalaire, distance, orthogonalité
1.4 Base de V
1.5 Expression du produit scalaire
1.6 Tenseurs du deuxième ordre
1.7 Produit dyadique
1.8 Composantes cartésiennes d’un tenseur du deuxième ordre
1.9 Produit tensoriel
1.10 Transposé d’un tenseur
1.11 Tenseurs symétriques et antisymétriques
1.12 Trace d’un tenseur
1.13 Produit scalaire de tenseurs
1.14 Déterminant d’un tenseur
1.15 Valeurs et vecteurs propres d’un tenseur
1.16 Produit vectoriel
1.17 Orientation d’une base
1.18 Tenseur inverse
1.19 Changement de base
1.20 Repères
1.21 Courbes de points, vecteurs et tenseurs
1.22 Dérivée d’une courbe
1.23 Intégration d’une courbe, abscisse curviligne
1.24 Le trièdre de Frenet
1.25 Courbure d’une courbe
1.26 Formules de Frenet et Serret
1.27 Propriétés de la torsion
1.28 Sphère osculatrice et cercle osculateur
1.29 Champs
1.30 Gradient d’un champ scalaire
Chapitre 2: VECTEURS APPLIQUES
2.1 Vecteurs appliqués, résultante, moment résultant, torseurs
2.2 Axe central
2.3 Systèmes équivalents
2.4 Systèmes équilibrés
Chapitre 3: CINEMATIQUE DU POINT
3.1 Trajectoire, vitesse et accélération
3.2 Vitesse scalaire et abscisse curviligne
3.3 Courbure, vitesse et accélération
3.4 Mouvement en coordonnées sphériques
3.5 Mouvement plan en coordonnées polaires
3.6 Mouvement en coordonnées cylindriques
Chapitre 4: CINEMATIQUE RELATIVE
4.1 Repères fixes et mobiles
4.2 Première loi de la cinématique
4.3 Formule de Poisson
4.4 Deuxième loi de la cinématique
4.5 Transformations galiléennes
4.6 Mouvements rigides
Chapitre 5: CINEMATIQUE DES CORPS RIGIDES
5.1 Transformations et degrés de liberté d’un corps rigide
5.2 Les angles d’Euler
5.3 Théorèmes fondamentaux sur le mouvement d’un corps rigide
5.4 L’axe de rotation globale
5.5 Amplitude d’une rotation
5.6 Vitesse et accélération dans un mouvement rigide
5.7 Rotations infinitésimales
5.8 L’axe d’instantanée rotation
5.9 Mouvements plans d’un corps rigide
5.10 Le centre d’instantanée rotation
5.11 Base et roulante
5.12 Mécanismes
Chapitre 6: LES PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE
6.1 Introduction
6.2 Les principes de Newton
6.3 Classifications des forces, énergie potentielle, travail mécanique
6.4 Principe de d’Alembert et forces d’inertie
6.5 Théorème de l’énergie cinétique
6.6 Intégrale première de l’énergie
6.7 Quantité de mouvement
6.8 Moment de la quantité de mouvement
6.9 Masse inertielle et masse gravitationnelle
Chapitre 7: DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE
7.1 Introduction
7.2 Intégrales premières
7.3 Orbites dégénérées
7.4 Orbites générales
7.5 Orbites circulaires
7.6 Forces répulsives
7.7 Le problème de Kepler
7.8 Les orbites dégénérées du problème de Kepler
7.9 Les orbites générales du problème de Kepler
7.10 La forme des orbites générales du problème de Kepler
7.11 Cinématique des planètes
7.12 La troisième loi de Kepler
7.13 La loi du temps
7.14 Le problème des deux corps
7.15 La loi de gravitation universelle
Chapitre 8: FORCES DISSIPATIVES
8.1 Introduction
8.2 Frottement
8.3 La résistance au roulement
8.4 L’amortissement
Chapitre 9: DYNAMIQUE DES SYSTEMES DISCRETS
9.1 Introduction
9.2 Forces internes
9.3 Les équations générales du mouvement pour un système discret
9.4 Quantité de mouvement
9.5 Moment de la quantité de mouvement
9.6 Equations fondamentales de la dynamique des systèmes
9.7 Théorème de l’énergie cinétique
9.8 Intégrale première de l’énergie
9.9 Théorème de König
Chapitre 10: PROPRIETES D’INERTIE DES SYSTEMES
10.1 Introduction
10.2 Barycentre
10.3 Propriétés du barycentre
10.4 Moment d’inertie
10.5 Tenseur d’inertie
10.6 L’ellipsoïde d’inertie
10.7 Le théorème de Huygens-Steiner
Chapitre 11: DYNAMIQUE DES CORPS RIGIDES
11.1 Introduction
11.2 Quantité de mouvement
11.3 Moment de la quantité de mouvement
11.4 Puissance
11.5 Energie cinétique
11.6 Dérivées temporelles
11.7 Les équations fondamentales pour un corps rigide
11.8 Le théorème de l’énergie cinétique pour un corps rigide
11.9 Les équations d’Euler
11.10 Mouvements autour d’un point
11.11 Mouvements à la Poinsot
11.12 Rotations permanentes
11.13 Précessions
11.14 Gyroscopes
11.15 Effet gyroscopique
11.16 La boussole gyroscopique
Chapitre 12: DYNAMIQUE IMPULSIVE
12.1 Introduction
12.2 L’équation fondamentale de la dynamique impulsive pour un point matériel
12.3 Les équations fondamentales de la dynamique impulsive pour les systèmes
12.4 Choc entre corps rigides
12.5 Variation de l’énergie cinétique d’un corps rigide à la suite d’un choc
12.6 Choc sans frottement entre corps rigides libres
12.7 L’hypothèse constitutive de Newton
12.8 Types de choc
12.9 Perte d’énergie
12.10 Choc contre une parois immobile
12.11 Choc d’un corps rigide libre contre un corps ayant un point fixe
12.12 Choc dans un plan
Chapitre 13: LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS
13.1 Liens, systèmes holonomes et anholonomes
13.2 Déplacements, vitesses, travail et puissance virtuels
13.3 Classification énergétique des liens
13.4 Le principe des travaux virtuels
13.5 Equivalence du principe des travaux virtuels et de la loi du mouvement
13.6 Equivalence d’équations fondamentales et loi du mouvement pour un corps rigide
13.7 Passage à la statique
Chapitre 14: LES EQUATIONS DE LAGRANGE
14.1 Les équations de Lagrange dans le cas général
14.2 Les équations de Lagrange pour les systèmes conservatifs
14.3 Un exemple : le pendule composé
Chapitre 15: STABILITE ET BIFURCATION DE L’EQUILIBRE
15.1 Généralités
15.2 Configuration d’équilibre stable selon Lyapounov
15.3 Représentation géométrique : l’espace des phases
15.4 Un exemple : les oscillations libres
15.5 Le théorème de Lagrange-Dirichlet
15.6 Analyse de la qualité de l’énergie potentielle
15.7 Bifurcation de l’équilibre
15.8 Exemple 1 : le flambement
15.9 Exemple 2 : le snapping
Chapitre 16: MODES NORMAUX
16.1 Généralités
16.2 Lemme de diagonalisation simultanée
16.3 Le tenseur de transformation
16.4 Expression générale de l’énergie cinétique
16.5 Linéarisation et découplage des équations d’équilibre
16.6 Modes normaux
16.7 Description qualitative des modes normaux
Chapitre 17: L’OSCILLATEUR SIMPLE
17.1 Généralités
17.2 Oscillations libres non amorties
17.3 Oscillations libres amorties
17.4 Oscillations forcées amorties
17.5 La résonance
17.6 La phase
LES PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE
INTRODUCTION
Dans ce chapitre on passe à l’étude du mouvement et des ses causes, c’est-à-dire à la branche de la mécanique qu’on appelle dynamique. En particulier, on s’occupera d’abord des fondements de la dynamique, les principes de Newton. Ces trois principes sont à la base de toute la mécanique classique, et ils ont été pendant au moins un siècle la seule méthode d’investigation des phénomènes mécaniques.
Les principes furent publiés en 1687 par Newton dans son ouvrage « Philosophiae Naturalis Principia Mathematica » (Les principes mathématiques de la philosophie naturelle). Le livre est composé de trois parties : dans la première ils sont énoncés les trois principes fondamentaux, sur lesquels se base toute la mécanique ; dans la même partie Newton donne de nombreuses applications de ses principes, utilisés dans la solution de plusieurs problèmes différents. Dans la deuxième partie, l’auteur s’applique à la solution de problèmes de mouvement de fluides ainsi qu’aux mouvements des corps dans un milieu fluide. Dans le troisième livre, Newton s’applique à la solution de problèmes de mécanique céleste. Après et grâce à l’analyse d’une longue série d’observations faites directement par l’auteur ou par d’autres scientifiques, Newton énonce sa fameuse loi de gravitation universelle, qui ouvre la voie à la mécanique céleste et, entre autres choses, à la démonstration rigoureuse des lois de Kepler. C’est ici que Newton écrit sa fameuse phrase ‘Hypothesis non fingo’ (je ne formule pas des hypothèses), avec laquelle il signifie que sa loi ne peut pas expliquer la raison de la gravité, sa nature intime, mais que les phénomènes sont bien représentés par la loi qu’il énonce, remarquable exemple et paradigme de ce qu’aujourd’hui on appelle normalement un modèle mathématique. Grâce à l’approche donnée à la mécanique par Newton, plusieurs problèmes fondamentaux de la mécanique ont été abordés et résolus pendant le 18 ème siècle, par Newton même et par d’autres savants, comme les Bernoulli, Euler, d’Alembert.
Un siècle après la parution des « Principia », et précisément en 1788, l’œuvre principale de Lagrange, la « Méchanique Analytique », est publiée à Paris. Dans son chef d’œuvre, le savant turinois pose les bases de la mécanique sur le principe des travaux virtuels, donc sur des considérations énergétiques, et il arrive à formuler les fameuses équations du mouvement qui portent son nom : une nouvelle approche à la mécanique a vu le jour. Finalement, c’est en plein 19 ème siècle que Hamilton donne à la mécanique l’approche qui porte son nom, et qui est basée sur des principes de minimum.
Après l’introduction des principes, dans ce chapitre on établira les théorèmes fondamentaux pour le cas d’un point matériel. L’extension de ces résultats aux systèmes discrets et continus rigides, ainsi que les approches énergétiques, seront traitées dans les chapitres qui suivent.
LES PRINCIPES DE NEWTON
Les trois principes fondamentaux dans leur formulation originelle sont :
1. chaque corps reste immobile ou se déplace de mouvement rectiligne uniforme s’il n’est pas poussé par des forces (principe d’inertie ou de Galilée) ;
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