Cours mathématiques probabilités rappels ou compléments de probabilités

Chapitre 1. Rappels ou compléments de Probabilités 
1. Variables gaussiennes
2. Théorèmes des classes monotones et théorème de Carathéodory
Chapitre 2. Généralités sur les Processus Stochastiques 
1. Notion de processus stochastique
2. Exemples classiques et fondamentaux de processus stochastiques
3. Bibliographie
Chapitre 3. Processus de Poisson 
1. Définition et propriétés élémentaires
2. Caractérisation d’un processus de Poisson
3. Résultats asymptotiques
4. Bibliographie
Chapitre 4. Chaînes de Markov 
1. Définition et matrice de transition
2. Exemples classiques de Chaînes de Markov
3. Équations de Chapman-Kolmogorov
4. Quelques formules de conditionnement
5. Classification des états
6. Périodicité
7. Temps d’atteinte, états récurrents et transients
8. Propriété de Markov forte
9. Récurrence positive et récurrence nulle
10. Loi stationnaire et théorèmes limites
11. Bibliographie
Chapitre 5. Espérances conditionnelles 
1. Introduction
2. Espérance conditionnelle
Chapitre 6. Martingales 
1. Martingales
2. Martingales bornées dans L1
3. Inégalité de Doob et conséquences
4. Martingales bornées dans L p , pour p > 1

Chapitre 2. Généralités sur les Processus Stochastiques

Ce chapitre a pour but d’introduire formellement la notion de processus stochastique, d’en donner une définition relativement générale avant d’étudier plus précisément quelques cas particuliers dans les chapitres suivants. Il est certainement un peu abstrait et peu digeste (malgré mes efforts…) à la première lecture du polycopié. Il est d’ailleurs à noter qu’il se trouve à la marge du programme de cette unité. C’est pourquoi, il peut être conseillé de le sauter en première lecture. Ensuite, pour répondre à quelques unes des questions que vous pourriez vous poser sur les processus stochastiques étudiés ultérieurement (processus de Poisson, Chaînes de Markov et Martingales), il trouvera peut être son utilité, en particulier pour ceux qui désireraient en savoir un peu plus…

1. Notion de processus stochastique
1.1. Introduction. On s’intéresse à l’évolution d’un phénomène, d’une variable au cours du temps.
On utilise le terme de processus quand on suppose l’intervention d’aléa ou d’un trop grand nombre de facteurs explicatifs qu’on ne peut prendre en compte et que l’on rassemble du coup dans l’aléa. Quatre grands types de processus se dégagent rapidement dont voici des exemples :
-Évolution de la température relevée tous les matins à 7 heures.
-Nombre mensuel d’immatriculations nouvelles relevées à Besançon.
-Nombre de personnes “placées” dans le monde du travail par l’ANPE par mois.
-Relevé par seconde de la dilatation d’un matériau sous l’effet de la chaleur.
-Évaluation sensorielle d’un produit à des instants différents.
-Relevé par heure de la concentration sanguine d’un certain type d’anticorps sur un patient.
-Nombre d’appels reçus par un standard téléphonique depuis le début de la journée, i.e. dans l’intervalle [8h; t] pour t 2 [8h; 17h].
-Relevé en continu du nombre de voitures arrêtées à un feu rouge, nombre de clients à une caisse de supermarché ou à un guichet de banque.
-Électrocardiogramme d’un patient
-Variation d’un indice boursier.
-Évolution de la proportion d’ozone dans l’atmosphère au cours de la journée dans le centre de Paris.
Ces processus peuvent être modélisés par la donnée d’un espace probabilisé (; A; P), d’un espace probabilisable (E; E), d’un ensemble T et d’une famille de v.a. (X de (; A; P) à valeurs dans (E; E). Les quatres grands types que nous avons vu précédemment sont différenciés par leur ensemble T, appelé espace des temps, et leur ensemble E, appelé espace d’états.
Si T est un espace dénombrable, N par exemple, on parle de processus à temps discret.
C’est le cas pour les deux premiers grands types introduits plus haut. Si l’espace T est de type continu, par exemple R ou R, on parle de processus à temps continu. C’est le cas des deux derniers types. Notons que l’on peut aussi considérer des processus à espace des,temps multidimensionnel, comme par exemple T  R+. Il en est ainsi pour la modélisation du mouvement de la vague sur l’océan. Pour un point t repéré par sa latitude et sa longitude, on relève la hauteur Xtk de la vague. Il en est ainsi également en traitement de l’image où pour tout t coordonnées du pixel (dans N2) on associe un niveau de gris X pour des images en noir et blanc, ou un triplet de valeurs donnant les niveaux de rouge, bleu et vert. On parle alors de processus spatiaux mais nous n’aborderons pas ces derniers dans ce cours.
On peut également distinguer deux types d’espace d’états, selon qu’il est discret ou continu comme respectivement dans les types 1 et 3 et les types 2 et 4. Notons que nous n’avons considéré que des espaces d’états unidimensionnels et que bien sûr, sans difficulté majeure, on pourra également considérer des espaces d’états multidimensionnels, par exemple E Rk.
Il en est ainsi par exemple si on considère le déplacement au cours du temps d’une particule dans un liquide, repérée par ses coordonnées dans l’espace.

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