Cours mathématiques les suites numériques, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

I : Corps des réels
1) Propriétés
2) Borne supérieure et inférieure
a) Définition
b) Droite achevée
c) Partie entière
3) Intervalles
4) Suites
II : Limite d’une suite
1) Préambule
2) Un exemple historique
3) Définitions
4) Opérations sur les limites
5) Inégalités et limites
6) Suites monotones
7) Suites adjacentes
8) Théorème de Bolzano–Weierstrass
III : Suites particulières
1) Suites arithmétiques
2) Suites géométriques
3) Suites arithmético–géométriques
4) Suites récurrentes linéaires
5) Suites récurrentes
6) Suites homographiques
IV : Comparaison des suites numériques
1) Suites équivalentes
2) Suites de références
Annexe I : fonctions chaotiques
1) Etude d’une suite récurrente
2) Fonctions chaotiques
Annexe II : Caractérisations du corps des réels

Corps des réels

Propriétés

–Un réel peut être vu, sous forme numérique, comme un entier relatif constituant sa partie entière,suivie d’une infinité de chiffres constituant sa partie décimale.
Nous préférons cependant partir de propriétés de plutôt que de cette définition, qui pose par ailleurs un certain nombre de problèmes. Par exemple, les deux réels suivants (le premier étant suivis d’une infinité de 0 et le second d’une infinité de 9) sont égaux :
5,280000000000000000000… et 5,279999999999999999999…….
(la différence vaut en effet 0.00000000000000000000… et est nulle !!). D’autre part, les opérations sur deux réels ne sont pas si facilement définies qu’il n’y paraît. Pour connaître la n ème décimale d’une somme, par exemple, il faut connaître tous les chiffres qui suivent pour savoir si une retenue ne serait pas susceptible de se propager de droite à gauche jusqu’à la décimale considérée.
Nous supposerons donc plutôt qu’il existe un corps
, contenant , muni d’une relation d’ordre (inégalité) compatible avec les opérations de dans le sens suivant :
∀ a, ∀ b, ∀ c, a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b+ c
∀ a, ∀ b, ∀ c ≥0, a ≤ b ⇒ ac ≤ bc
La relation d’ordre est dite totale, dans le sens où l’on peut toujours comparer deux réels entre eux. A noter qu’une relation jouissant des mêmes propriétés n’existe pas dans..

Borne supérieure et inférieure

Définition:
L’une des propriétés caractéristiques de.. est l’existence de la borne supérieure. Il s’agit d’une propriété caractéristique dans le sens où cette propriété fait partie de la définition de  ou des axiomes régissant la relation d’ordre du . Il est donc hors de propos de la démontrer. On se reportera à l’annexe II Caractérisations du corps des réels pour avoir plus de détails. Soit A une partie de . I est la borne inférieure de A si I est le plus grand minorant de A, c’est à dire si I est plus petit que tous les éléments de A (I minore A), mais que, parmi tous les minorants possibles, I est le plus grand. S est la borne supérieure de A si S est le plus petit majorant de A, c’est à dire si S est plus grand que tous les éléments de A (S majore A), mais que, parmi tous les majorant possibles, S est le plus petit. (Cours mathématiques les suites numériques)
Droite achevée:
Sur le nouvel ensemble ainsi défini, on prolonge la relation d’ordre usuelle sur.. par :
∀x réel, –∞<x < +∞
On peut alors désigner le nouvel ensemble sous la forme d’intervalle [–∞,+∞].
L’intérêt de la droite achevée réside dans le fait que nombre de résultats dans  est lié au fait d’être borné au pas. Ainsi, si A est majoré, on peut définir S = Sup A. Si A est non majoré, on posera SupA = +∞. +∞n’est autre que la borne supérieure de A, mais dans la droite achevée
Par ailleurs, on obtient, dans la droite achevée, des résultats plus concis :
Voici une liste de résultats dans , dont certains seront prouvés ultérieurement :
Toute partie non vide majorée admet une borne supérieure.
Toute partie non vide minorée admet une borne inférieure.
Toute suite croissante majorée converge vers sa borne supérieure. Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
Toute suite décroissante minorée converge vers sa borne inférieure. Toute suite décroissante non minorée tend vers –∞.
De toute suite bornée, on peut extraire une sous–suite convergente. De toute suite non bornée, on peut extraire une suite tendant vers +∞ou –∞.
Ces résultats s’énoncent, dans la droite achevée :
Toute partie admet une borne supérieure.
Toute partie admet une borne inférieure.
Toute suite croissante converge vers sa borne supérieure.
Toute suite décroissante converge vers sa borne inférieure.
De toute suite, on peut extraire une sous–suite convergente.

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Les suites numériques (823 KO) (Cours PDF)