Cours mathématiques les déterminants avec exemples de calculs

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I : Définition
1) Déterminant 2 ×2
2) Forme multilinéaire alternée
3) Déterminant 3 ×3
4) Déterminant n × n
II : Calcul des déterminants
1) Déterminant d’une matrice diagonale
2) Déterminant d’une matrice triangulaire
3) Déterminant de la transposée d’une matrice
4) Déterminant par blocs diagonaux
5) Développement par rapport à une colonne
6) Exemples de calculs
7) Déterminant d’un produit de matrices
8) Déterminant de l’inverse d’une matrice
9) Influence d’un changement de base
III : Applications des déterminants
1) Critère d’indépendance
2) Formules de Cramer
3) Inverse d’une matrice
4) Base directe et indirecte

I : Définition
1–Déterminant 2 × 2
Les propriétés de l’application déterminant définie par (V, V’) →Det(V,V’) sont les suivantes :
i) Cette application est linéaire en V (V’ fixé) et en V’ (V fixé). Elle est dite bilinéaire.
ii) Det(V,V’) = – Det(V’,V). Elle est dite alternée ou antisymétrique.
2– Forme multilinéaire alternée
Début de partie réservée aux MPSI
a) Considérons un espace vectoriel E sur un corps = ou , et une application Φ de En dans .
Cette application est dite multilinéaire si, pour tout V1, V2, …, Vi–1, Vi+1 , … Vn, l’application portant sur la i éme composante V est linéaire ;
Ainsi le produit scalaire est bilinéaire. Le produit de n réels est multilinéaire. Plus généralement, le produit de n formes linéaires sur un espace vectoriel est une forme n–linéaire. En fait, la multilinéarité permet de développer une expression comme un produit.
4– Déterminant n × n
Début de partie réservée aux MPSI Cherchons les formes n–linéaires alternées sur un espace de dimension n muni d’une base (e 1,…, e n).
Cette expression s’appelle déterminant des vecteurs (V 1, …, Vn) ou déterminant de la matrice (aij). On peut également parler de déterminant d’un endomorphisme, celui–ci étant égal au déterminant d’une matrice associée dans une base donnée. Le problème se pose de savoir si ce déterminant dépend de la base choisie, et sera examiné dans la partie III.On peut vérifier que cette expression est effectivement n–linéaire alternée. Voici comment on peut montrer qu’elle est alternée :
La somme est prise pour toute les valeurs de l’indice σ parcourant le groupe symétrique. Mais si l’on change d’indice, en prenant cette fois στ, στ décrit également le groupe symétrique, et l’on reconnaît alors le déterminant initial, précédent du signe –. Le déterminant est bien alterné.
La formule proposée n’est guère pratique. Elle possède n! termes. Nous verrons plus tard des moyens rapides de calculer cette expression.
II : Calcul des déterminants
1– Déterminant d’une matrice diagonale
En effet, le seul terme non nul dans la définition du déterminant est obtenu pour σ= Id En utilisant la multilinéarité, on en déduit que :
2– Déterminant d’une matrice triangulaire
On se ramène à une matrice triangulaire au moyen des techniques suivantes :
i) Multiplier une colonne (ou une ligne) par λmultiplie le déterminant par λ
ii) Remplacer la colonne Vjpar Vj+ λVkne change pas la valeur du déterminant.
iii) Plus généralement, ajouter d’autres colonnes à une colonne donnée ne change pas la valeur du déterminant.
iv) Si l’une des colonnes ou l’une des lignes est nulle, le déterminant est nul.
v) Si deux colonnes ou deux lignes sont proportionnelles, le déterminant est nul.
vi) Si l’on permute deux colonnes ou deux lignes, le déterminant change de signe.