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I : Dérivée
1) Définition
2) Opérations
3) Dérivées successives
4) Théorème de Rolle
5) Théorème des accroissements finis
II : Fonctions convexes
1) Définition
2) Convexité et dérivabilité
I : Dérivée
1– Définition
précédente s’applique aussi aux fonctions à valeurs complexes. Si f est à valeurs complexes, de parties réelle g et imaginaire h, il résulte du calcul des limites d’une telle fonction en séparant précisément partie réelle et imaginaire que f’ = g’ + ih’).
Si on se limite à h > 0, on parle de dérivée à droite. Si l’on se limite à h < 0, on parle de dérivée à gauche. Si f est dérivable à droite et à gauche de x 0 et si les deux dérivées sont égales, alors f est dérivable en x 0.
Il existe des fonctions continues dérivables en aucun point, mais la présentation d’un contre-exemple dépasse le niveau de première année.
2– Opérations
Les résultats relatifs à la somme, au produit, au quotient de fonctions dérivables étant censés être bien connus, nous nous limiterons à :
a) Composition
Soit fdérivable en x0et gdérivable en f(x0). Alors g o fest dérivable en x 0et :
La règle de dérivation d’une fonction composée se note agréablement en physique, où seules les la position z d’un mobile. On a alors E = E(z). Supposons que z dépendent du temps t de sorte que z= z(t) et que E = E(z(t)) = E(t) pour abréger. On remarquera que cette dernière notation est invalide en mathématique à cause d’une ambiguïté. E(3) désigne-t-il la valeur de E pour z = 3 ou pour t = 3. Cette ambiguïté n’existe pas en physique où l’on demandera E(3 m) ou E(3 s), l’unité appliquée aux variables levant alors l’ambiguïté.variables portent un nom et non les fonctions elles-mêmes.
3– Dérivées successives
Si f est dérivable sur un intervalle I, on peut définir la fonction dérivée f ‘, et se poser la question de savoir si elle est elle–même continue ou dérivable. Si c’est le cas, on peut définir sa dérivée f » , etc …
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