Cours mathématiques développements limites

Sommaire: Cours mathématiques développements limites

I : Généralités
1) Définition
2) Formule de Taylor avec reste intégral
3) Inégalité de Taylor–Lagrange
4) Formule de Taylor–Young
5) Méthode de Newton-Raphson
II : Opérations sur les développements limités
1) Somme
2) Produit
3) Composition
4) Quotient
5) Intégration et dérivation
III : Utilisation des développements limités
1) Calcul de limites
2) Etude locale d’une courbe y= f(x)
3) asymptotes
4) Etude locale d’un arc paramétré
a) Tangente
b) Concavité
IV : Développements limités usuels

Extrait du cours mathématiques développements limites

I : Généralités
1– Définition
f admet un développement limité au voisinage de 0 à l’ordren si f est de la forme :
5– Méthode de Newton-Raphson
Il s’agit de trouver une valeur approchée de c, solution de l’équation f(x) = 0. Pour cela, on part d’un point x0. On trace la tangente au graphe de f passant par le point d’abscisse x0. Cette tangente coupe l’axe des abscisses en un point x 1. L’opération peut être itérée.
Début de partie réservée aux MPSI
Etudions la convergence de la suite (xn) dans deux cas :
qCas où f  » est de signe constant et où f(x0)f « (x0) > 0.Par exemple (quitte à changer fen –f) , f  » > 0, c’est-à-dire fconvexe, f(x0) > 0 et x0< c(quitte à faire une symétrie par rapport à un axe vertical). C’est le cas de la figure précédente. On a nécessairement f ‘(x0) négative, car, la fonction étant convexe, f ‘ est croissante, et si f ‘(x0) ≥ 0, alors, pour x ≥ x0, f'(x) ≥ f ‘(x0) ≥ 0 donc f serait croissante pour x ≥ x0 et donc f(x) ≥ f(x0) > 0 : dans ce cas, il ne pourrait y avoir de solution csupérieure à x0.

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