Cours de probabilités échantillonnage avec exercices

I Probabilités
1 Définitions
2 Combinaisons, Arrangements
3 Probabilités liant deux évènements
4 Probabilités et statistiques
5 Variable aléatoire
6 Lois binomiales
7 Lois de Poisson
8 Lois normales
9 Solutions des exercices
II Echantillonnage
1 Echantillons
2 Estimation
3 Test d’ajustement
4 Comparaison d’échantillons
5 Solutions des exercices
III Tableur

Jouons a pile ou face, un grand nombre de fois, avec une piece non truquée. Pile et face ont la meme probabilité, egale a 1/2, d’apparaitre a chaque lancer. Comptabilisons les resultats au fur et a mesure et supposons que, a une etape, le nombre de tirages sur face soit superieur de 100 a celui des pile : le nombre de pile a-t-il ensuite tendance a rattraper le nombre de face? Ceux qui jouent a pile ou face sans en connaitre les arcanes mathematiques evoquent parfois une loi des moyennes fondee sur l’intuition que les nombres de pile et de face obtenus avec une piece non truquee devraient devenir peu différents apres un grand nombre de lancers. Pourtant les pieces n’ont pas de memoire : la probabilité d’obtenir pile ou face lors d’un lancer est toujours 1/2. Ne devrait-on pas penser plutot que les totaux n’ont pas de raison de devenir egaux?
Les memes questions se posent dans des contextes varies. Si un accident d’avion se produit en moyenne tous les quatre mois et si trois mois se sont passés sans accident, un accident est-il imminent ?
Dans tous les cas de ce type, la reponse est non : les processus aleatoires ou, plus exactement, les modeles mathematiques de ces processus n’ont pas de memoire.
Il n’existe pas de loi des moyennes : les probabilites des evenements futurs ne dependent pas des resultats passés.

Variable aleatoire
Denition 5.1 Soient une epreuve donnee, l’univers associe a cette epreuve et p une probabilite denie sur. On appelle variable aleatoire toute fonction X de  dans R qui, a tout element de fait correspondre un nombre reel x.
On notera X() l’ensemble des valeurs prises par la v.a. X.
Une variable aleatoire est caracterisee par l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre et par l’expression mathematique de la probabilite de ces valeurs. Cette expression s’appelle la loi de probabilite (ou distribution de probabilite) de la variable aleatoire.
Il existe plusieurs types de valeurs que peut prendre une variable aleatoire :

Variable aleatoire discrete
Denition 5.2 Une variable aleatoire est discrete si elle ne prend que des valeurs discontinues dans un intervalle donné (borné ou non borné). L’ensemble des nombres entiers est discret. En regle generale, toutes les variables qui resultent d’un denombrement ou d’une numeration sont discretes.
Exemples :
{le nombre de petits par portee pour une espece animale donnee (chat, marmotte, etc.),
{le nombre de bacteries dans 100 ml de preparation,
{le nombre de mutations dans une sequence d’ADN de 10 kb, sont des variables aleatoires discretes.
La loi de probabilite d’une variable aleatoire discrete est entierement determinee par les probabilites pi des evenements fX = xi g, x parcourant l’univers image . La loi de probabilite est donnee par les (xi; pi)ii.
Exercice 5.1 Une urne contient quatre boules numerotees 10, 20, 30 et 40. On eectue trois tirages successifs avec remise, c’est-a-dire qu’apres chaque tirage on replace la boule tiree dans l’urne. Le resultat d’une experience peut alors etre represente par un triplet, une liste ordonnee de trois elements de l’ensemble E = f10; 20; 30; 40g.
1.Combien y a-t-il de resultats possibles?
2.Quelle est la probabilite d’obtenir les cas suivants..

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