Cours d’algèbre matrices et applications linéaires

Cours d’algèbre matrices et applications linéaires, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Matrices
Définitions

Définition 3.1.1.
Soient n; p 2 N. Une matrice de taille (n; p) à coefficientss dans R ou C est la donnée d’un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes constitué d’éléments de R ou C.
L’éléments qui se trouve à l’intersection de la ligne i et de la colonne j s’appelle l’élément d’indice (i; j). On le note ai;j et la matrice notée par A = (ai;j)1in 1jp:
L’ensemble des matrices de taille (ou de type) (n; p) sera noté par M(n; p)(K):
Mn(K) = M(n; n)(K) s’appelle l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans K:
Si p = 1 M(n; 1) s’appelle l’ensemble des matrices colonnes à coefficients dans K:
Si n = 1 M(1; p) s’appelle l’ensemble des matrices lignes à coefficients dans K:
Remarque 3.1.2.
Se donner M(n; p)(K) revient à se donner n p éléments de K:
Deux matrices A et B sont égales si et seulement si elles ont la même taille et ai;j = bi;j ; 8 1 i n; 1 j p:
Définition 3.1.3. Soient A; B 2 M(n; p)(K) et 2 K on pose:
A + B = C = (ci;j)i; j avec ci;j = ai;j + bi;j
A = D = (di;j)i; j avec di;j = ai;j :
Proposition 3.1.5.
M(n; p)(K) muni de ces deux opérations est un K-espace vectoriel.
dim(M(n; p)(K)) = n p. En effet,
Si on pose pour tout i 2 f1; ; ng et j 2 f1; ; pg; Ei; j la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d’indice (i; j) qui vaut 1. Alors fEi;jg1in 1jp est une base de M(n; p)(K) et donc dim(M(n; p)(K)) = n p et dim(Mn(K)) = n2

Matrices et applications linéaires

Définition 3.2.1. Soient E; F deux K-e-v de dimension respectivement p et n. Soient E = fe1; ; epg une base de E et F = ff1; ; fng une base de F, u 2 LK(E; F).
Soit ` 2 f1; ; pg; u(e`) 2 F donc il se décompose dans la base u(e`) =Xk=1nak;`fk; ak;` 2 K:
On appelle matrice de u relativement aux bases E et F de E et F respectivement la matrice dont les
coefficients sont (ak;`)1kn 1`p
On la note par Mat(u; E; F) = (ak;`)1kn 1`p 2 M(n; p)(K):
Proposition 3.2.2. L’application
: L(E; F) ! M(n; p)(K) u 7! mat(u; E; F); est un isomorphisme.
Exemple 3.2.3. Soient u : R4 ! R3 (x; y; z; t) 7! (2x + y + z ? t; 3x + 2z ? t; x + y + z);
E4 la base canonique de R4 et E3 la base canonique de R3. Déterminer Mat(u; E4; E3):
Produit de matrices
Définition 3.3.1. Soient A 2 M(m; n)(K); B 2 M(n; p)(K); on définit le produit AB 2 M(m; p)(K)
par A B = C avec ci;k =Pn`=1ai;`b`;k:
Remarque 3.3.2. Le produit A B est possible si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Trace d’une matrice
Définition 3.3.15. Soit A 2 Mn(K); A = (ai;j)1in 1jn . On pose tr(A) = Pn k=1 ai;i = a1;1+a2;2+ +an;n
On l’appelle trace de A
Proposition 3.3.16
1. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
2. tr(A) = tr(A):
3. tr(AB) = tr(BA)
4. Si A et B sont semblables alors tr(A) = tr(B)
1 Espaces vectoriels.
1.1 Généralités
1.1.1 Introduction et but.
1.2 Espaces vectoriels.
1.3 Sous-espaces vectoriels
1.4 Familles libres – Familles liées, Familles génératrice, Bases d’un e-v.
1.4.1 Familles libres- Familles liées.
1.4.2 Familles génératrice
1.4.3 Base d’un espace vectoriel
2 Applications linéaires. 
2.1 Définitions.
2.2 Noyau et images.
2.3 Théorème du rang.
2.4 Caractérisation des isomorphismes
3 Matrices. 
3.1 Définitions
3.2 Matrices et applications linéaires
3.3 Produit de matrices
3.3.1 Rang d’une matrice
3.3.2 Trace d’une matrice
4 Déterminants. 
4.1 Déterminants 2 2
4.2 Déterminant 3 3