Cours algèbre et analyse (Lois de composition), tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Lois de composition

La structure d’un ensemble, fini ou infini, peut-etre caracterisée par une ou plusieurs lois internes ou externes dites lois de composition.
Dans ce paragraphe nous allons etudier les operations algebriques independamment des objets math´ematiques de l’ensemble auxquels elles sont susceptibles de s’appliquer.
Soient E et K deux ensembles quelconques.
D´efinition. On appelle loi de composition interne sur E une application de E × E dans E qui `a (x, y) associe x ∗ y. On dit qu’on a une loi de composition externe de K sur E si on se donne une application K × E dans E qui `a (β, x) associe βx. Dans ce as, on dit que K agit sur E.
+ Exemple 1.3.1 Les lois de composition d´efinies par l’addition et la multiplication sur les ensembles N, Z,Q,R sont des lois internes. Soit E un ensemble quelconque. Soient X, Y ∈ P(E), les lois de composition (X, Y ) → X∪Y et (X, Y ) → X△Y = (X∪Y )\(X∩ Y ) sont des lois internes sur P(E). u
Dans l’ensemble N, consid´erons la loi qui `a chaque couple (x, y) ∈ N2 associe xy. Suposons que l’on se donne trois entiers naturels x, yn et z, les entiers (xy)z et x(yz) ne sont pas n´ecessairement ´egaux, comme on peut facilemnt le constater.
Soient x, y, z ∈ E et ∗ une loi interne sur E.
La loi ∗ est dite associative si : (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
On d´efinit par r´ecurrence le compos´e de n ´el´ements x1, x2, · · · , xn d’un ensemble E par x1 ∗ (x2 ∗ (· · · (xn−1 ∗ xn) · · ·)). L’associativit´e permet d’effectuer le calcul dans E sans se soucier de la succession des op´erations impos´ees par la d´efinition pr´ec´edente.

La loi ∗ est dite commutative si : x ∗ y = y ∗ x.
La loi ∗ admet sur E un ´el´ement neutre, not´e e, si pour tout x ∈ E on a : x ∗ e = e ∗ x = x.
Unicit´e : L’´el´ement neutre , lorsqu’il existe, est unique. En effet, supposons que e′ est un autre ´el´ement neutre pour la loi ∗, alors e′ = e′ ∗ e = e ∗ e′ = e. u L’´el´ement x ∈ E admet un ´el´ement sym´etrique, not´e, x′ si la loi ∗ admet un ´el´ement neutre e et si x ∗ x′ = x′ ∗ x = e.
Unicit´e : Le sym´etrique x′ de x ∈ E est unique pour la loi ∗. En effet, soit x′′ un deuxi`eme ´el´ement sym´etrique de x. En utilisant l’associativit´e de la loi ∗, on obtient x′ = e ∗ x′ = (x′′ ∗ x) ∗ x′ = x′′ ∗ (x ∗ x′) = x′′ ∗ e = x′′. u
+ Exemple 1.3.2 Dans l’ensemble P(E) on d´efinit la loi de composition ⊗, dite somme disjonctive de X et Y ∈ P(E), par X ⊗Y = (X ∩ Y c) ∪(Y ∩Xc). On v´erifie que cette loi est bien interne, commutative, associative, admet pour ´el´ement neutre l’ensemble vide et chaque ´el´ement est son propre sym´etrique. u
Soient ◦ et ∗ deux lois de composition internes d´efinies sur E et x, y, z trois ´el´ements quelconques de E.
On dit que ◦ est par rapport `a la loi ∗ si l’on a
(x ∗ y) ◦ z = (x ◦ z) ∗ (y ◦ z)
z ◦ (x ∗ y) = (z ◦ x) ∗ (z ◦ y).
Si les deux lois ne sont pas commutatives, on prendra bien soin de ne pas modifier l’ordre des termes.
Un entre deux ensembles E et F munis de deux lois internes ∗ et ◦, est une application
f : (E, ∗) → (F, ◦) qui v´erifie, pour tous x1 et x2 ∈ E, la relation f(x1 ∗ x2) = f(x1) ◦ f(x2)
Une bijection (E, ∗) sur (F, ◦) est un homomorphisme bijectif de (E, ∗) dans (F, ◦).
+ Exemple 1.3.3 La bijection x → ex de (R,+) sur (R∗+, .) est un homomorphisme qui fait correspondre `a l’addition sur R la multiplication sur R+. Par contre, la bijection x → ℓnx de (R∗+, .) sur (R,+) fait correspondre la multiplication sur R∗+, l’addition sur R. On a alors ex+y = ex.ey et ℓn(x.y) = ℓnx + ℓny.u

Relation d’équivalence

Definition. Soit R une relation binaire sur E. Pour tous x, y, z ∈ E, R est dite : G R´eflexive si : xRx c-`a-d. chaque ´el´ement est en relation avec lui-mˆeme.
G Sym´etrique si : xRy =⇒ yRx. Si x est en relation avec y alors y est en relation avec x.
G Transitive si : [xRy et yRz] =⇒ xRz. Si x est en relation avec y et y en relation avec z alors x est en relation avec z.
G Anti-sym´etrique si :
[xRy et yRx] =⇒ x = y. Si deux ´el´ements sont en relation l’un avec l’autre, ils sont ´egaux.
La relation R est une relation d’´equivalence si elle est `a la fois r´eflexive, sym´etrique et transitive. Dans ce cas, on appelle classe d’´equivalence d’un ´el´ement x de E, l’ensemble des ´el´ements de E en relation avec x par R, not´ee C(x) = {y ∈ E : yRx}.
La classe d’´equivalence C(x) est non vide car R est r´eflexive et contient de ce fait au moins x. On notera par E/R = {C(x)/x ∈ E}
l’ensemble des classes d’´equivalence de E par la relation R.
+ Exemple 1.4.1 Dans l’ensemble des entiers relatifs Z, on d´efinit la relation de con- gruence modulo 3 par xRy si et seulement si x − y = 3k (congruence modulo 3). Les* classes d’´equivalence sont, ainsi, form´ees par les restes de la division par 3, qui sont C(0), C(1), C(2). Leurs ensemble est not´e Z/3Z = Z3. En g´en´eral, pour n entier naturel non nul, la relation xRy si et seulement si il existe un entier k tel que x− y = nk est une relation d’equivalence. Leurs ensemble est Zn = Z/nZ = {C(0), C(1), ·, C(n − 1)}. u
+ Exemple 1.4.2 On consid`ere maintenant la relation suivante sur R : xRy si et seulement x3 − y3 = x − y. La classe d’´equivalence de a ∈ R est l’ensemble C(a) = {x ∈ R : x3 − a3 = x − a} qui contient a et les racines du trinˆome T(x) = x2 + ax + a2 − 1. u
Theoreme 1.4.1 Soit R une relation d’´equivalence sur E. Les classes d’´equivalence (C(x))x∈E constituent une partition de E.
Preuve : Les classes sont deux `a deux disjointes. En effet, si αRβ et si x ∈ C(α) alors xRβ et x ∈ C(β) ceci implique que C(α) ⊂ C(β). On v´erifie de la mˆeme fa¸con l’inclusion inverse. Donc si α et β ne sont pas en relation alors C(α) ∩ C(β) = ∅ et les classes [C(x)]x∈E sont disjointes deux `a deux. D’autre part, pour tout x ∈ E on a x ∈ C(x) donc E ⊂S x∈E C(x) d’o`u E = S x∈E C(x). u
On traite maintenant la d´ecomposition canonique d’une application entre deux ensembles.
Soit f : E → F une application. On d´efinit une relation d’´equivalence R associee `a l’application f par xRy ⇐⇒ f(x) = f(y).

……..