Corrigé de l’examen math et remarques

Corrigé de l’examen et remarques

Donner la définition de la borne supérieure dans R d’une partie A non vide de R.

On peut donner la définition de deux façons :
en français
La borne supérieure S d’un sous-ensemble non vide A de R est, s’il existe, le plus petit des majorants.
en langage quantifié. Le réel S est la borne supérieure d’un sous-ensemble non vide A de R si Un théorème du cours dit que si A est majoré, la borne supérieure de A existe. C’est une propriété de R. Par exemple, l’ensemble des rationnels Q ne satisfait pas cette propriété.

Erreurs fréquentes

 confondre majorant et borne supérieure,
 confondre borne supérieure et plus grand élément ou affirmer que la borne supérieure appartient à A . S’il y a un plus grand élément, c’est la borne supérieure, si la borne supérieure appartient à A c’est le plus grand élément, mais (exemple classique) soit A l’ensemble des rationnels positifs r tels que r2<2, cet ensemble a (dans R) une borne supérieure : et pas de plus grand élément ( est irrationnel et n’appartient pas à A),  des quantifications fantaisistes.

Donner la définition d’une suite réelle convergente

Définition Soit (un) une suite réelle ; on dit que (un) est convergente (ou converge) s’il existe un réel L tel que (un) converge vers L. Pour obtenir la note maximale il fallait  soit donner la définition en langage quantifié ,  soit expliciter la définition d’une suite convergeant vers un réel. Définition. Soit (un) une suite réelle et soit L un réel ; on dit que (un) converge vers L quand n tend vers +  si l’une des propriétés (a) (b) (c) équivalentes suivantes est vérifiée. (a) Pour tout voisinage V de l, il existe un rang N, tel que un appartienne à V pour tout entier n supérieur ou égal à N. (b) Tout intervalle ouvert contenant Ll contient tous les termes de la suite sauf pour un nombre fini d’indices. (c) Quel que soit , il existe N dans N tel que n >N entraîne .
Le module «nombres réels, suites et fonctions » et plus spécialement la partie « apprendre, suites numériques »
Quelques remarques
1. s’en tenir à la première partie sans expliciter ce que veut dire converge vers L (ou a pour limite L) est un peu court et ne justifiait pas l’intégralité du barême,
2. écrire « thermes » d’une suite est excusable à la rentrée d’une cure mais est à éviter en suite.