Contrôle optimal de la phase du réseau optique

Introduction theorique

Dans cette partie nous presentons les outils math ématiques et num ériques nous permettant de determiner les champs de controle optimaux pour fac¸onner ˆ a volont ` e la distribution en impulsion d’un condensat de Bose-Einstein. 

Le controle optimal classique

La theorie du contr ole optimal est une th êorie math ématique utilis ée pour trouver les contr oles ˆ optimaux d’un systeme afin qu’il e ` ffectue les trajectoires dites optimales, definies comme minimi- sant une fonctionnelle donnee. Cette fonctionnelle peut par exemple étre l’ ênergie ou le temps necessaire pour amener le syst éme dans l’ ` etat final d ésir é. Elle peut pr ésenter un certain nombre de contraintes a respecter : en pratique, les contr ` oles peuvent être restreints ˆ a un intervalle de ` valeurs possibles. 

Le probleme du controle optimal

Le controle optimal ne s’applique qu’aux syst êmes dits ` controlêsét de dimension finie, c’est-a-dire ` dont l’evolution est r égie par une équation di fferentielle de la forme [146] dx(t) dt = f(x(t),u(t), t), avec la condition initiale x(0) = x0, (5.1) reliant l’etat du syst éme ` x(t) a un temps ` t aux controles disponibles sur ce syst ême ` u(t). Pour un probleme traitant d’un syst ` eme classique, l’ ` etat du syst éme est mod ` elis é par un vecteur de dimension n x(t) =   x1(t) x2(t) … xn−1(t) xn(t)   , (5.2) dont les composantes xi (t) ∈ R sont des quantites r éelles et contiennent toute l’information dispo- nible sur l’etat du syst éme au cours du temps. Les contr ` oles sur le syst ême sont repr ` esent és par un vecteur dont les composantes sont egalement r éelles et de dimension m, avec en genéral m , n u(t) =   u1(t) u2(t) … um−1(t) um(t)   . (5.3) Un systeme est dit ` controlable ˆ si pour un etat initial du syst éme ` x0 au temps t0, il existe des controles ˆ u(t) tels que le systeme puisse atteindre un ` etat cible xcible = x(tf ) au bout d’un temps  tf . Pour formaliser les conditions optimales du controle qui permet d’atteindre l’ êtat cible, il est necessaire de d éfinir une fonction de co utˆ J a minimiser. Il est ` egalement possible de vouloir maximiser une quantite, et on parle dans ce cas de fonction de fidelit é F . On peut alors definir le probleme de contr ` ole optimal de la mani êre suivante ` Parmi tous les champs de controle ˆ u(t) qui realisent le passage de l’ état du syst éme ` x(t0) → x(tf ) ‘ xcible, laquelle minimise la fonction de coutˆ J ? Il y a trois types de problemes associ ` es a cette question que l’on nomme les probl ` emes de ` — Lagrange : Dans ce type de probleme, on consid ` ere que le syst ` eme est enti ` erement contr ` olable. ˆ L’etat atteint par minimisation de la fonction de co ut est alors exactement l’ êtat cible. La fonction de coutˆ J est donnee par une int égrale sur le temps du transfert vers l’ état cible et depend du chemin suivi J = Z tf ti f0(x(t),u(t), t)dt. (5.4) — Mayer : A l’inverse, dans ce type de probl ` eme on consid ` ere que le syst ` eme n’est pas enti ` erement ` controlable et on cherche alors ˆ a se rapprocher le plus possible de l’ ` etat cible. La fonction de coutˆ J est alors independante du chemin suivi et ne d épend que de l’ état final du proto- cole tf J = φ(x(tf )). (5.5) — Mayer-Lagrange : Il s’agit du cas de figure le plus courant ou le probl ` eme est une combi- ` naison des deux types de problemes pr ` ecédents J = φ(x(tf )) + Z tf ti f0(x(t),u(t), t)dt. (5.6) Les fonctions f0(x(t),u(t), t) et φ(x(tf )) determinent la quantit é physique J qui est minimisee (l’energie ou le temps du protocole que nous avions énonc é plus t ot par exemple). Il n’existe pas ˆ de methode universelle pour trouver la ”bonne” fonction J et il est de la responsabilite de l’utilisa- teur de la theorie du contr ole optimal de la d êfinir en fonction du syst éme ` etudi é. Dans notre cas, on cherchera a fac¸onner le plus pr ` ecis ément possible la distribution en impulsion du condensat en modifiant la phase du reseau optique au cours du temps afin d’arriver a une distribution d ` esir ée. La phase du reseau est contr olêe a l’aide de synth ` etiseurs de fr équences qui poss édent une bande ` passante finie qui impose une certaine contrainte sur notre controle du syst ême. On a alors a ` ffaire a un probl ` eme de type Mayer : la fid ` elit é ne fera intervenir que l’ état final du syst éme ` x(tf ) duquel on essayera de s’approcher le plus possible. La duree du protocole tf est un parametre qu’il est ` necessaire de fixer avant la proc édure d’optimisation. Dans la suite de ce chapitre, on supposera 168 CHAPITRE 5. CONTROLE OPTIMAL DE LA PHASE DU R êSEAU OPTIQUE que le champ de controle est dans la capacit ê d’atteindre l’ état cible (ce n’est pas toujours le cas). Dans la prochaine partie, nous allons enoncer le principe du maximum de Pontryagin sur lequel ést base le contr ole optimal. ˆ 5.2.1.2 Le principe du maximum de Pontryagin La theorie du contr ole optimal est fond ê sur le principe du maximum de Pontryagin qui fut énonc é pour la premi ére fois en 1956 par Lev Pontryagin. Il permet de formaliser un probl ` eme ` de controle sous forme hamiltonienne incluant des conditions aux limites ainsi qu’une condition ˆ d’extremalit é. Pour parvenir a cette formulation, on cherche ` a minimiser la fonction de co ` ut par la ˆ methode des multiplicateurs de Lagrange tout en satisfaisant les équation de la dynamique. Dans le cas d’un probleme de type Mayer, on arrive alors ` a une fonction de co ` ut dite êtendue de la forme suivante F = φ(x(tf )) + Z t1 t0 p · f(x(t),u(t), t) − dx dt ! dt, (5.7) ou le vecteur ` p est un multiplicateur de Lagrange de meme dimension que le vecteur ˆ x. On nomme ce vecteur le vecteur adjoint. Cette expression de la fonction de cout motive alors ˆ a d ` efinir un hamiltonien, dit hamiltonien de Pontryagin Hp , de la maniere suivante [146] ` Hp = p · f(x,u, t). (5.8) La minimisation de la fonction de coutˆ J impose une condition finale pour le vecteur adjoint donnée par p(tf ) = dφ(x(tf ) dx(tf ) . (5.9) L’hamiltonien Hp n’est pas l’hamiltonien usuel de la mécanique classique mais une construction mathematique qui permet de résoudre le probléme d’optimisation consideré. Le principe du maximum de Pontryagin stipule que si le contrôle u(t) est optimal, alors la trajectoire extremale (x(t),p(t)) correspondante satisfait les équations d’Hamilton.