Contribution à la modélisation des écoulements dans les systèmes hydrauliques avec jonction

Contribution à la modélisation des écoulements dans les systèmes hydrauliques avec jonction

Classification des écoulements 

Nous allons d’abord définir les grandeurs géométriques permettant de caractériser un écoulement à surface libre (figure 1) : Figure 1 : Paramètres géométriques de l’écoulement dans un canal B est la largeur au miroir, Dh le rayon hydraulique, h le tirant d’eau, P le périmètre mouillé, Q le débit du canal, S la surface mouillée et 𝛼 l’angle d’inclinaison du fond. Selon les caractéristiques spatiales et temporelles, les écoulements peuvent être classés comme suit (Niémi, 2010 ; Chow, 1959) 

 Écoulement permanent et non permanent 

Un écoulement dans un canal est considéré comme permanent ou stationnaire si le débit et d’autres facteurs tels que la profondeur de l’écoulement ou la vitesse d’écoulement moyenne restent invariables dans le temps en grandeur et en direction ( 𝜕𝑓 𝜕𝑡 = 0). Si ces facteurs changent avec le temps le flux est classé comme non permanent (figure 2). Au sens strict, l’écoulement dans les canaux est rarement permanent. Néanmoins les variations temporelles sont, dans certains cas, suffisamment lentes pour que l’écoulement puisse être considéré comme une succession de régimes permanents ce qui permet définir ainsi le régime quasi-permanent. Figure 2 : Variation de la ligne d’eau suivant le temps 

. Ecoulement uniforme et écoulement non uniforme

 Un écoulement est considéré comme uniforme si les caractéristiques hydrauliques de l’écoulement (vitesses, profondeurs,…) sont invariables entre les diverses sections du canal (pas de variation spatiale, 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 0). Il est non uniforme ou varié dans le cas contraire. Puisque l’écoulement non permanent et uniforme est presque quasi impossible en pratique, seul l’écoulement permanent peut-être uniforme (Chow, 1959). L’écoulement non permanent sera toujours considéré comme non uniforme. Les écoulements non uniformes peuvent être graduellement variés quand leurs caractéristiques varient très lentement d’une section à une autre (lentes variations spatiales) ou rapidement variés quand leurs caractéristiques varient brusquement d’une section à une autre. Les écoulements rapidement variés se manifestent en général au voisinage d’une singularité, telle qu’un seuil, un rétrécissement, un ressaut hydraulique ou une chute brusque (figure 3). Dans les canaux naturels l’écoulement est toujours non uniforme. 

 Ecoulement fluvial et écoulement torrentiel

 L’écoulement fluvial et l’écoulement torrentiel sont des notions hydrauliques qui décrivent l’équilibre de l’écoulement d’un liquide dans un canal, un cours d’eau ou une conduite à surface libre. Selon le rapport des forces de gravité et des forces d’inertie, le flux est classé à être soit fluvial (sous-critique) ou torrentiel (supercritique). Ce rapport est donné par le nombre de Froude, définie dans le canal par : gD U Fr = 1.1 avec U vitesse moyenne, D est la profondeur hydraulique. Le nombre de Froude permet de classer les écoulements en : • écoulement fluvial si Fr < 1, les forces de gravité sont dominantes. L’écoulement est souvent fluvial dans la nature, il est relativement profond et se déplace lentement. • écoulement torrentiel si Fr > 1, les forces d’inertie sont dominantes. L’écoulement torrentiel est moins fréquent, il est relativement peu profond et se déplace très rapidement. • écoulement critique si Fr = 1, les forces d’inertie et de gravité sont en équilibre. Le passage d’un régime torrentiel à un régime fluvial dans un canal ou un cours d’eau s’accompagne d’un ressaut hydraulique (élévation du niveau d’eau) et d’une dissipation d’énergie. La distinction entre le régime fluvial et torrentiel est que dans l’écoulement fluvial les perturbations se déplacent à la fois vers l’amont et vers l’aval, alors que pour l’écoulement torrentiel le déplacement se fait seulement dans le sens aval. Ainsi dans la simulation d’un écoulement fluvial, la condition aval contrôle la profondeur de l’écoulement en amont, et en conséquence, les calculs doivent démarrer à partir du point de contrôle aval pour remonter vers l’amont. Dans un écoulement torrentiel, la situation est inversée.

Ecoulement laminaire et écoulement turbulent 

En fonction du rapport des forces d’inertie et des forces visqueuses l’écoulement peut être considéré comme laminaire ou turbulent. Dans un écoulement laminaire les forces visqueuses sont si fortes par rapport aux forces d’inertie que la viscosité joue un rôle important dans la détermination du comportement d’écoulement. Dans un tel flux, les particules d’eau semblent se déplacer suivant des chemins lisses qui ne se croisent pas. Dans un écoulement turbulent les forces de viscosité sont faibles par rapport aux forces d’inertie et les particules d’eau se déplacent dans des chemins chaotiques, irréguliers qui se croisent. Il peut arriver que l’écoulement ne soit ni parfaitement laminaire ni parfaitement turbulent, c’est ce que l’on appelle l’écoulement de transition. Dans la nature, le flux est généralement turbulent. La classification entre écoulement laminaire, transitoire et turbulent est basé sur un paramètre sans dimension appelé nombre de Reynolds, défini par :    c c e ULUL R == 1.2 avec  masse volumique du fluide, U vitesse moyenne, Lc longueur caractéristique, 𝜈 viscosité cinématique,  viscosité dynamique. Ce nombre présente une valeur seuil, le nombre de Reynolds critique 𝑅𝐸 ≈ 2000 , en dessous de laquelle l’écoulement est assurément laminaire. Au-delà de cette valeur seuil, le régime d’écoulement devient turbulent. En fonction des nombres de Reynolds croissants, on distingue quatre régimes principaux : le régime de Stokes, le régime laminaire, le régime transitoire et le régime turbulent. L’écoulement de Stokes correspond aux très faibles valeurs du Reynolds (inférieures à 1). Dans ce cas les forces d’inertie liées aux vitesses étant négligeables, les forces visqueuses et les forces de pression s’équilibrent. Cette notion se rapporte également au domaine des microfluides. Pour des valeurs plus élevées, les forces d’inertie entrent en jeu : c’est le domaine de la dynamique des fluides. On observe d’abord un écoulement laminaire avec des lignes de courant bien identifiées. Dans ce type d’écoulement l’effet de la viscosité s’atténue au fur et à mesure que l’on s’éloigne des parois, les vitesses du fluide tendant à s’homogénéiser. Il est alors souvent commode de considérer que l’approximation du fluide parfait (non visqueux) est suffisante hors d’une zone proche d’une paroi, appelée couche limite. Cette dernière concentre les effets visqueux qui peuvent y être modélisés sous une forme simplifiée. A partir d’un certain Reynolds se produit une transition qui fait apparaître des instabilités dues à l’amplification des perturbations. La valeur du Reynolds de transition et la nature des instabilités dépendent essentiellement du type d’écoulement considéré. Ensuite, les instabilités augmentent au point de donner naissance à un phénomène chaotique dans lequel il est difficile de voir une organisation : c’est la turbulence.

Dérivation des équations de Navier-Stokes

Il existe plusieurs dérivations différentes des équations de Navier-Stokes pour la formulation mathématique de ces différents types d’écoulement. Nous allons utiliser ici celle qui découle directement des lois de Conservation de la mécanique des milieux continus, une fois formulées les lois de comportement des fluides classiques (Chaabelasri, 2011 ; Zeytounian, 1991). Dans ce qui suit nous supposerons que le référentiel dans lequel on observe le mouvement est galiléen. Nous désignons par 𝑥𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3), les coordonnées cartésiennes d’un point M dans le repère cartésien orthonormé (𝑂, 𝑘⃗⃗ 1, 𝑘⃗⃗ 2, 𝑘⃗⃗ 3) et par 𝑡 le temps. Rappelons pour ce repère que : 𝑥⃗ = 𝑥𝑖𝑘⃗⃗ 𝑖 1.3 𝑘⃗⃗ 𝑖 ∗ 𝑘⃗⃗ 𝑗 = 𝛿𝑖,𝑗𝛿𝑖,𝑗 = { 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗 1 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 1.4 La masse volumique 𝜌(𝑥𝑖 ,𝑡), l’énergie interne spécifique 𝑒(𝑥𝑖 ,𝑡)et la vitesse 𝑢⃗⃗(𝑥𝑖 ,𝑡) de composantes 𝑢𝑖(𝑥𝑖 ,𝑡) sont les grandeurs de l’écoulement que nous allons utiliser. En mécanique des milieux continus, nous avons trois lois de conservation. La première est la loi de conservation de la masse : dv 0 v =   dt d 1.5  La seconde est la loi de conservation de la quantité de mouvement :  += v s Tf dt d u dv dv ds v  1.6 Où 𝑇⃗⃗(𝑀, 𝑛⃗⃗) est le vecteur contrainte en M pour la direction 𝑛⃗⃗ et c’est une densité surfacique de forces s’exerçant sur une surface élémentaire normale au vecteur 𝑛⃗⃗ , alors que 𝑓⃗ est une distribution volumique de forces qui représente les efforts extérieurs exercés sur le domaine. En mécanique des milieux continus on démontre l’existence d’un tenseur de composantes 𝜎𝑖,𝑗 qui sont des fonctions continues par morceaux de 𝑥𝑖 𝑒𝑡 𝑡 tel qu’en tout point de continuité on peut écrire : 𝑇⃗⃗ = 𝑇𝑖𝑘⃗⃗ 𝑖 𝑒𝑡 𝑇𝑖 (𝑥⃗,𝑡, 𝑛⃗⃗) = 𝜎𝑖,𝑗(𝑥⃗,𝑡)𝑛𝑗 1.7 où 𝑛⃗⃗ = 𝑛𝑗𝑘⃗⃗ 𝑗 . Enfin, la troisième est la loi de conservation de l’énergie et constitue le premier principe de la thermodynamique : ( ) ( )    −++=      + s iiii v ii v uue ii dv ruf dv nquT ds dt d 2 1  1.8 où 𝑟 est une densité volumique définissant un taux de chaleur et les 𝑞𝑖(𝑥⃗,𝑡) sont les composantes cartésiennes du vecteur 𝑞⃗, courant de chaleur défini par l’équation (1.9) : −𝑞⃗ ∗ 𝑛⃗⃗ = 𝑞𝑖𝑛𝑖 = 𝑞(𝑥⃗,𝑡, 𝑛⃗⃗) 1.9 Avec 𝑞 la densité surfacique de taux de chaleur reçu. D’autre part, si U est une grandeur attachée au fluide et que le champ des vitesses 𝑢⃗⃗ est continu et dérivable et si la frontière 𝜕𝐷 de D est lisse en morceaux, alors la dérivée particulaire de l’intégrale de volume de U s’écrit : nu ds t U     +    = D D D U dv dv U dt d 1.10 Chapitre I Seïdou Kane Thèse de Doctorat Unique EDEQUE/FST UCAD 2017 14 Nous pouvons transformer toute l’intégrale de volume en une intégrale de surface et vice versa, d’après le théorème de la divergence. Ainsi, pour tout champ de vecteurs 𝐴⃗ défini et continu dans D et sur 𝜕𝐷, on a :  =  D D n A ds A )( dv 1.11 D’après les équations précédentes, lorsque les fonctions considérées sont supposées continument dérivables, on peut mettre les trois lois de conservation sous la forme intégrale générale suivante (Zeytounian, 1991) : ( ) u 0 i =         −   +   +    B dv x A xt A D i j ij i j i  1.12 où si :            +=+−=      +  =−=  == = uue rufBqu fB B A ii ij i ij iiii ij ij ii ij i i et 2 1 u et 0et 0 i     1.13 La combinaison des équations (1.12 et 1.13) conduit aux trois équations aux dérivées partielles associées aux trois lois de conservation : 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜕𝑥𝑖 (𝜌𝑢𝑖 ) = 0 1.14 𝜌 ( 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑡 + 𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗 ) = 𝜕𝜎𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑗 + 𝑓𝑖 1.15 𝜌 ( 𝜕𝑒 𝜕𝑡 + 𝑢𝑗 𝜕𝑒 𝜕𝑥𝑗 ) = 𝜎𝑖𝑗𝑑𝑖𝑗 − 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑥𝑖 + 𝑓𝑖 + 𝑟 1.16 où 𝑑𝑖𝑗 = 1 2 ( 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗 + 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑖 ). Pour un fluide visqueux newtonien incompressible, l’équation de l’énergie est découplée des équations de continuité et de quantité de mouvement, c’est-à-dire qu’on peut déterminer la vitesse et la pression indépendamment de l’équation de l’énergie. La loi de comportement pour de tel fluide est exprimée par l’équation suivante : 𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇𝐷𝑖𝑗 − 𝑝𝛿𝑖𝑗 1.17 Où 𝛿𝑖𝑗 est le symbole de Kronecker. En remplaçant (1.17) dans (1.15), nous obtenons les équations de Navier –Stokes pour un fluide newtonien incompressible : { 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑗 = 0 (𝑎) 𝜌 ( 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑡 + 𝜕𝑢𝑖𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑗 ) = 𝜌𝑓𝑖 + 𝜇 𝜕 2𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗 2 − 𝜕𝑝 𝜕𝑥𝑖 (𝑏) 1.18 Le système des équations de Navier-Stokes, un des plus utilisés en mécanique des fluides permet de faire la modélisation des écoulements. Cependant, les écoulements naturels sont tous turbulents à des degrés différents et il existe essentiellement trois méthodes de prendre en compte la turbulence en mécanique des fluides numérique : • la première méthode consiste à avoir un maillage plus fin que le plus petit tourbillon attendu. On parle de simulation directe (Direct Numerical Simulation, DNS). Cette méthode est extrêmement gourmande en ressources et en temps, et est donc rarement utilisée dans un contexte industriel (Vallet I., 2014 ; Saleh K., 2009). Les autres méthodes consistent à simplifier les petites perturbations. En effet, selon le principe de la cascade de Kolmogorov, les grands tourbillons se divisent en tourbillons plus petits, et en dessous d’une certaine taille, la viscosité dissipe l’énergie cinétique des tourbillons, qui devient de l’énergie interne au fluide. Cela donne lieu à deux méthodes : • la simulation des grandes échelles (SGE, ou LES, Large Eddy Simulation) : pour réduire le coût de calcul cette méthode ignore les petites échelles de longueur qui sont plus coûteuse à résoudre et utilise les équations de Navier-Stokes filtrées. Le maillage est plus grossier que pour le DNS, les tourbillons plus fins que le maillage ne sont pas pris en compte par le modèle, seuls les grands tourbillons sont simulés (Ganesan T et Awang M., 2015). Cependant les problèmes dans lesquels les petites échelles jouent un  rôle important doivent être prises en compte et une recherche active est faite dans ce domaine. • le moyennage temporel des équations de Navier-Stokes pour toutes les échelles (RANS, Reynolds Averaged Navier-Stokes). La méthode RANS est la plus économe en ressources et donc, de fait, très majoritairement utilisée pour les applications industrielles (Ndiaye T. 2015 ; Cherel D., 2006). Elle fait cependant apparaître des corrélations inconnues que sont les tensions de Reynolds et qui nécessitent des modèles de fermeture pour l’obtention des champs .