Continuité par rapport au domaine pour le problème de formatage électromagnétique d’un jet de métal liquide

Introduction Générale

 L’optimisation de forme est un vaste domaine de recherche dont les applications concernent plusieurs branches telles que la mécanique, l’économie, la gestion, la biologie etc. Elle a pour objet la recherche de la meilleure forme possible pour un objet donné. Les problèmes d’optimisation de forme sont souvent d’origine industrielle : il s’agit de chercher la meilleure forme de l’aile d’avion, le meilleur mur anti-bruit, le meilleur pare-brise… C’est une étape très importante dans la conception et la finalisation d’une pièce qui consiste à donner à cette pièce la meilleure forme possible pour qu’elle puisse remplir ces fonctions. Mathématiquement, résoudre un problème d’optimisation de forme consiste à trouver un domaine Ω de frontière ∂Ω dans D un ensemble des parties de R N maximisant ou minimisant une fonction coût J(Ω) c’est à dire trouver Ω ∗ ∈ D tel que J(Ω) = min Ω∈D J(Ω). (1) Nous allons nous intéresser à un problème d’optimisation de forme en magnétohydrodynamique. L’étude du jet de métal liquide permet de chercher la position d’équilibre du métal qui tombe dans un champ magnétique créé par un courant alternatif parcourant des conducteurs verticaux. En effet nous allons vérifier si le problème J(Ω∗ ) = minΩ∈D J(Ω) admet une solution et que pour chaque forme on obtient une énergie potentielle. Est ce que ces énergies tendent vers une énergie stable. On cherche à minimiser l’énergie totale du système électromagnètique J(Ω) = 1 2µ0 ˆ Ωc |∇ψ(x)| 2 dx − ˆ Ωc j0ψ(x)dx + τp(Ω) (2) composée de l’énergie électromagnétique J1(Ω) = 1 2µ0 ˆ Ωc |∇ψ(x)| 2 dx − ˆ Ωc j0ψ(x)dx et l’énergie de tension superficielle J2(Ω) = τp(Ω) avec |Ω| fini, µ0 = 4π10−7 est la perméabilité magnétique du vide, j0 = j(0, 0, j0) est le vecteur densité du courant (vertical), τ ≥ 0 est une constante caractéristique du métal et ψ le potentiel électromagnétique. Pour minimiser l’énergie totale J(Ω) on cherche Ω ∗ /J(Ω∗ ) = min{J(Ω), Ω ∈ D} (3) oú J(Ω) = J(Ω, ψΩ), ψΩ est le potentiel électromagnétique solution de l’EDP :    −∆ψ = µ0j0 dans Ω c ψ = 0 sur ∂Ω ψ borné à l’infini (4) Pour étudier l’existence d’une solution de (1), on vérifie d’abord la compacité de la famille des formes admissibles ainsi que la semi-continuité inférieure de la fonctionnelle J(Ω) par rapport au domaine pour une topologie donnée de R N . Autrement dit si on considère une suite (Ωn)n≥0 ⊂ D telle que Ωn −→ Ω si n −→ +∞ alors J(Ωn) −→ J(Ω). 2 c 3 Le travail est organisé de la façon suivante : – Le chapitre I est consacré à l’étude des topologies des différentes parties de R N . – Dans le chapitre II, nous étudions l’éxistence de la solution du problème. – Enfin, dans le chapitre III, nous évoquerons la continuité par rapport au domaine sous contrainte : • de la convexité des domaines admissibles, • la proprièté du -cône, • de la capacité densitaire.

Les topologies des différentes parties de R N 

La convergence des ouverts au sens de Hausdorff 

Pour montrer l’existence de l’ensemble des minimums d’un problème d’optimisation de forme, la recherche d’une topologie sur l’ensemble des domaines R N oú le problème est posé présente un certain nombre de difficultés. En effet, d’après Antoine Henrot il n’existe pas de topologie 00canonique00 sur les domaines de R N , ni même sur les ouverts de R N . Quand on cherche une topologie de manière à vérifier que ”Une fonction semi-continue inférieurement sur un compact atteint son minimum”, on est confronté à deux exigences contradictoires qui sont : • On souhaite que la famille des domaines avec laquelle on travaille soit compacte, on a intérêt à choisir la topologie la moins fine possible ( c’est-à-dire contenant le moins d’ouverts possibles). • En revanche, si on a besoin que la fonctionnelle à minimiser soit continue ou semi-continue inférieurement (s.c.i), on a intérêt à avoir une topologie la plus fine possible. Tout l’art de l’analyse va donc consister à ”naviguer” entre ces deux exigences antagonistes. Ce chapitre a pour but l’étude des convergences des différentes topologies sur les domaines de R N , ainsi que leurs liens et aussi l’étude de leurs compacité. 2 c 5 1.1 La convergence des ouverts au sens de Hausdorff Soit B un compact fixé de R N , on note KB la famille des compacts non vides inclus dans B. Tout d’abord on rappelle la définition de la distance de Hausdorff sur KB, on note d(., .) la distance euclidienne dans R N Définition 1.1. Etant donné K1etK2 dans KB, on pose ∀x ∈ B, d(x, K1) = inf y∈K1 d(x, y) (1.1) ρ(K1, K2) = sup x∈K1 d(x, K2) (1.2) d H(K1, K2) = max(ρ(K1, K2), ρ(K2, K1)) (1.3) on peut maintenant définir la convergence de Hausdorff pour des ouverts de B Définition 1.2. Soient (Ω)n≥0 et Ω des ouverts inclus dans B. On dira que la suite Ωn converge vers Ω au sens de Hausdorff si d H(B/Ωn, B/Ω) −→ 0 quand n −→ ∞ (1.4) On note alors Ωn H −→ Ω Remarque 1.1. La terminologie de 00convergence au sens de Hausdorff 00 sera donc utilisée à la fois pour les compacts de B et pour les ouverts de B bien que les notions soient bien distinctes ; cette ambiguïté ne pose pas de problème et permet par ailleurs de ne pas alourdir les définitions. Proposition 1.1 (Propriétés de la convergence au sens de Hausdorff). (i) Une suite croissante d’ouverts inclus dans B converge au sens de Hausdoff vers sa réunion. (ii) Une suite décroissante d’ouverts converge vers l’intérieur de l’intersection de tous les ouverts. (iii) Si (Ωn)n∈N et (Ω0 n )n∈N sont des suites de B qui convergent respectivement au sens de Hausdorff vers (Ω) et (Ω0 ) et si (Ωn) ⊂ (Ω0 n ) pour tout n ∈ N alors (Ω) ⊂ (Ω0 ). (iv) Si (Ωn)n∈N et (Ω0 n )n∈N sont des suites de B qui convergent respectivement au sens de Hausdorff vers (Ω) et (Ω0 ) alors (Ωn)∩(Ω0 n ) converge au sens de Hausdorff vers (Ω)∩(Ω0 ). (v) Si (Ω1 n )n∈N et (Ω2 n )n∈N sont des suites de B qui convergent respectivement au sens de Hausdorff vers (Ω1 ) et (Ω2 ) et si Ω 1 n ∪ Ω 2 n converge au sens de Hausdorff vers Ω, alors Ω 1 ∪ Ω 2 ⊂ Ω. (vi) La convexité est préservée par la convergence au sens de Hausdorff, mais pas l’enveloppe convexe. Notons que par le passage au complémentaire, on en déduit aisément des propriétés similaires pour la convergence au sens de Hausdorff des compacts (remplacer par exemple “croissant” par “déccroissant, “réunion” par “intersection”, etc.) 

 La convergence des fonctions caractéristiques

 Une première idée naturelle est de ”mettre en bijection” les ensembles mesurables En de R N avec leurs fonctions caractéristiques χE : c’est un élément de l’espace L ∞(R N ), et aussi de tous les espaces L p (R N ), 1 ≤ p ≤ N, dès que E est borné (ou plus généralement de mesure de Lebesgue finie). On peut alors utiliser les topologies usuelles sur les fonctions caractéristiques. Définition 1.3. Soit une suite En d’ensembles mesurables de R N , la suite des fonctions χEn est ∗− faiblement compacte dans L ∞, s’il existe χ ∈ L ∞(R N ) tel que ∀ψ ∈ L 1 (R N ), limn→∞ ˆ RN χEn ψ = ˆ RN χψ (1.5) Proposition 1.2. Si (En)n≥0 et E sont des parties mesurables de R N telles que χEn converge ∗−faiblement dans L ∞(R N )(au sens de 1.5) vers χE, alors χEn −→ χE dans Lp loc(R N ) pourtout p < +∞ et p.p. Preuve de la proposition 1.2 Par hypothèse on a ∀ψ ∈ L 1 (R N ), limn→∞ ˆ RN (χEn − χE)ψ(x)dx = 0 (1.6) Notons BR la boule de centre O et de rayon R et E c le complémentaire de E. On prend alors ψ = χBR χEc dans (1.6) et on en déduit 0 = limn→∞ ˆ RN χEn χBR χEc (x)dx = limn→∞ |BR ∩ (En \ E)| où |.| , désigne la mesur e de Lebesgue dans R N . Maintenant, si on prend ψ = χBR dans (1.6) on obtient 0 = limn→∞ ˆ BR (χEn − χE)dx = limn→∞ {|BR ∩ (En \ E)| − |BR ∩ (E \ En)|} Donc aussi |BR ∩ (E \ En)| −→ 0 Or, ˆ BR |χEn − χE| p dx = |BR ∩ (E \ En) + |BR ∩ (En \ E) (1.7) ce qui démontre la proposition. 1.3 la convergence au sens des Compacts La convergence au sens des compacts est peut être a priori moins naturelle mais elle s’avére utile quand on s’intéresse à la continuité de la solution d’une équation aux dérivèes partielles (EDP) vis à vis de la variation du domaine. 2 c 7 Définition 1.4. Soient (Ωn)n∈N et (Ω) des ouverts de R N . On dit que Ωn converge au sens des compacts vers Ω et on note Ωn K −→ Ω si : (i) ∀ K compact ⊂ Ω, on a K ⊂ Ωn pour n assez grand (ii) ∀ L compact ⊂ Ωc , on a L ⊂ Ωc n pour n assez grand. Proposition 1.3. Ωn converge au sens des compacts vers Ω si et seulement si ∀K1, K2 des compacts tels que K1 ⊂⊂ Ω et K2 ⊂⊂ Ω c il existe n ∈ N tel que pour tout n ≥ n on a K1 ⊂⊂ Ωn et K2 ⊂⊂ Ω c n L’inconvénient de cette notion de convergence est qu’il n’y a pas unicité de la limite. 1.4 Lien entre ces différentes notions de convergence Dans cette partie nous allons voir qu’aucune de trois notions de convergence définie ci-déssus n’implique l’autre. Ce pendant il existe de fortes relations entre elles que nous allons voir. Il existe certaines relations entre les trois notions de convergence que nous venons d’étudier mais on peut dire que aucune d’entre elles n’implique les deux autres. Nous allons voir dans la proposition suivantes quelques liens entre ces différentes notions de convergence. La proposition qui suivante montre que la convergence au sens de Hausdorff entraîne une “moitié” de la convergence au sens des fonctions caractéristiques. Proposition 1.4. Soient Ωn et Ω des ouverts inclus dans un fermé fixe B, si Ωn H −→ alors (i) |Ω \ Ωn| −→ 0 (ii) χΩ ≤ lim inf χΩn p.p. (iii) Si de plus χΩn σ(L∞,L1 ) −→ χ alors χΩ ≤ χ Remarque 1.2. Puisque kχΩn − χΩkL1 = ˆ B |χΩn (x)−χΩ(x)|dx = ˆ Ωn\Ω χΩn (x)+ˆ Ω\Ωn χΩ(x)dx = |Ωn\Ω|+|Ω\Ωn| on voit bien que, là aussi, la convergence au sens de Hausdorff implique ”la moiti” de la convergence au sens des fonctions caractéristiques. Preuve de la Proposition On note, comme d’habitude Kn = B \ Ωn et K = B \ Ω. Fixons une suite de réels positifs n décroissant vers 0 et telle que n ≥ ρ(Kn, K). Puisque d H(Kn, K) −→ 0, on a alors : χΩ\Ωn = χKn\K ≤ χ{x∈B,0≤d(x,K)≤n} Mais, puisque {x ∈ B, 0 ≤ d(x, K) ≤ n} décroit en tendant vers ∅ on a, par le lemme de Beppo Levi limn→∞ ˆ F χΩ\Ωn (x)dx = 0 2 c 8 et donc |Ω \ Ωn| −→ 0 Comme, de plus, χΩ = χΩ\Ωn + χΩ∩Ωn ≤ χΩ\Ωn + χΩn (1.8) et puisque, χΩ\Ωn −→ 0 p.p d’après la première partie de la preuve, on a bien χΩ ≤ lim inf χΩn p.p. (1.9) ainsi que, ∀ψ ∈ L 1 , avec ψ ≥ 0, ˆ χΩψ ≤ limn→∞ ˆ χΩn ψ = ˆ χψ (1.10) ce qu’il fallait vérifer. La proposition qui suit montre que la convergence au sens de Hausdorff impliquerait “la moitié” de la convergence au sens des compacts. Proposition 1.5. Si une suite Ωn converge vers Ω et si K est un compact inclus dans Ω, alors K est inclus dans Ωn pour n assez grand. 

Résultats de compacité

Cas de la convergence au sens de Hausdorff

Théorème 1.1. Soit Kn une suite de compacts inclus dans un compact fixe B. Alors il existe K compact inclus dans B et une suite extraite Knk qui converge au sens de Hausdorff vers K quand k −→ ∞. Corollaire 1.1. Soit Ωn une suite d’ouverts inclus dans un compact. Alors il existe Ω ouvert inclus dans B et une suite extraite Ωnk qui converge au sens de Hausdorff vers Ω quand n → ∞. Autrement dit {Ω; Ω ⊂ B} est compact pour la métrique de Hausdorff. Pour tout compact K de R N on notera dK(x) la fonction (continue) ”distance euclidienne à K”, définie par dK(x) = d(x, K) = min{d(x, y), y ∈ K} . La proposition suivante donne une dénition équivalente de la distance de Hausdorff. Proposition 1.6. Si K1 et K2 sont deux compacts alors d H(K1K2) = kdK1−K2 kL∞(RN) = kdK1−K2 kL∞(K1∪K2) (1.11) En particulier, Kn H −→ K ⇐⇒ dKn − dK1 converge uniformément vers 0 dans R N 2 c Preuve de la proposition : Notons σ(K1, K2) := kdK1−K2 kL∞(K1,K2) . Pour x ∈ K2, on a d(x, K1) = |d(x, K1) − d(x, K2)| ≤ σ(K1, K2) et donc, en passant à la borne supérieure ρ(K1, K2) ≤ σ(K1, K2). Comme l’expression de droite est symétrique en K1 et K2, on en déduit, en inversant le rôle de K1 et K2 que d H(K1, K2) ≤ σ(K1, K2) Inversement, pour x ∈ R N fixé notons k1 et k2 les éléments de K1 et K2 respectivement tels que d(x, K1) = d(x, k1) , d(x, K2) = d(x, k2) . On a, pour tout y ∈ K1, d(x, y) ≤ d(x, k1) + d(k2, y), d’où en prenant l’infimum pour y ∈ K1, on obtient d(x, K1) ≤ d(x, k2) + d(k2, K1) = d(x, K2) + d(k2, K1) Ce qui entraine d(x, K1) − d(x, K2) ≤ d(k2, K1) ≤ ρ(K2, K1) ≤ d H(K2, K1) Par symétrie, on en déduit ∀x ∈ R N , |d(x, K1) − d(x, K2)| ≤ d H(K2, K1) d’où en prenant la borne supérieure pour x ∈ R N σ(K2, K1) ≤ kdK1 − dK1 k ≤ d H(K2, K1)L∞(RN ) ce qui termine la démonstration de la proposition. Démonstration du théorème : On considére la suite dKn dans l’espace de fonctions continues C(B) muni de la métrique uniforme. – la suite dKn est bornée uniformément (par le diamétre de B par exemple) – la suite dKn est équicontinue puisque |dKn (x) − dKn (y)| = |d(x, Kn) − d(y, Kn)| ≤ d(x, y) Donc, d’après le ’théorème d’Ascoli’ à la famille dKn est relativement compacte dans C(B) on peut en extraire une sous-suite, encore notée, dKn qui converge uniformément sur B vers une fonction continue f. Posons alors K = {x ∈ B; f(x) = 0} qui est un compact de B. La fin de la démonstration va consister à montrer que f = dK ce qui terminera la preuve gràce à la proposition (1.4). Tout d’abord, puisque |dKn (x) − dKn (y)| ≤ d(x, y), on a en passant à la limite |f(x) − f(y)| ≤ d(x, y) et donc, en particulier pour tout y ∈ K f(x) = |f(x)| ≤ d(x, y), ce qui implique f(x) ≤ dK(x) (1.12)  .