Construction d’opérades à partir de monoïdes

Plusieurs opérades qui mettent en jeu des objets combinatoires furent introduites et étu- diées ces dernières années. Additionnellement aux exemples classiques que constituent l’opérade associative, l’opérade commutative et associative et l’opérade de Lie, la plupart des opérades d’introduction récente portent sur divers objets combinatoires. Beaucoup portent en particulier sur diverses espèces d’arbres [Lod01], [CL01], [BF03], [Cha04], [Cha06b], [Liv06], [Cha10]. Ces opérades sont construites de manière plus ou moins indépendante les unes par rapport aux autres et ils ne semble pas qu’il existe de construction unificatrice pour les obtenir toutes et les étudier d’un même tenant. L’objectif de ce chapitre est d’introduire un procédé de construction d’opérades qui se veut, d’un certain point de vue, assez général. Le point de départ de cette construction consiste en un monoïde M quelconque. On considère alors l’ensemble des mots dont les lettres sont des éléments de M . L’arité d’un élément est sa longueur, et cet ensemble est muni d’une substitution partielle dont la définition est dictée par l’expression du produit de M . Cet ensemble est également muni d’une action du groupe symétrique où ce dernier agit sur un mot en permutant ses lettres. La structure ainsi obtenue est une opérade ensembliste.

L’aspect combinatoire de cette construction s’illustre par le fait que ce procédé donne gra- tuitement de nombreuses nouvelles opérades dont certaines séries de Hilbert sont connues en combinatoire. Ainsi, en choisissant une bijection appropriée entre les éléments de l’opérade et une classe combinatoire qui possède la même série génératrice, la substitution partielle et l’action du groupe symétrique peuvent se réinterpréter en termes d’opérations sur ces objets combina- toires. 11] qui implantent notre construction. Ainsi, sur l’entrée d’un monoïde, l’opérade associée est instanciée et nous pouvons lui poser diverses questions, comme par exemple les premiers coefficients de la série de Hilbert d’une sous-opérade engendrée par une famille finie G de générateurs, afficher les éléments engendrés par G arité par arité ou encore calculer les relations non triviales entre les éléments de G.Comme cela est mentionné dans le paragraphe 3.3 du chapitre 3, une opérade permet de construire un groupe et deux algèbres de Hopf, l’une commutative et l’autre non. Ainsi, en composant cette construction avec la nôtre, il est possible d’obtenir un groupe et deux algèbres de Hopf à partir d’un monoïde. Nous considérons ici l’algèbre de Hopf non commutative obtenueà partir de l’une des opérades que nous construisons. Celle-ci est basée sur des forêts ordonnées d’arbres plans enracinés où le degré d’un élément est la donnée de son nombre d’arêtes. Cette algèbre de Hopf est très similaire à l’algèbre de Hopf de Connes-Kreimer (voir le paragraphe 2.2.2 du chapitre 2) notamment dans l’expression de son coproduit.

Construction d’opérades à partir de monoïdes

Ce chapitre est organisé de la manière suivante. Le paragraphe 6.1 est consacré à la définition de l’ingrédient principal du chapitre, à savoir la construction qui à un monoïde associe une opé- rade. Nous montrons que cette construction est un foncteur de la catégorie des monoïdes vers la catégorie des opérades et que celui-ci respecte les injections et les surjections. Nous développons ensuite dans le paragraphe 6.2 plusieurs exemples de sous-opérades, symétriques ou non, de l’opérade obtenue à partir du monoïde additif. Les opérades que nous présentons mettent en jeu des objets combinatoires relativement variés : endofonctions, fonctions de parking, mots tassés, permutations, arbres plans enracinés, k-chemins de Dyck, arbres de Schröder, chemins de Motz- kin, compositions d’entiers, animaux dirigés et compositions d’entiers segmentées. Ces opérades s’organisent dans un diagramme dont les flèches sont des injections ou des surjections et certaines sont de plus finiment engendrées. Nous retrouvons aussi l’opérade diassociative [Lod01], [Zin10] comme sous-opérade de l’opérade obtenue à partir du monoïde multiplicatif. Nous terminons par le paragraphe 6.3 en étudiant l’algèbre de Hopf non commutative obtenue à partir de l’opé- rade sur les arbres plans enracinés définie dans le paragraphe précédent. Nous proposons une réalisation polynomiale de cette algèbre de Hopf en utilisant des procédés inspirés de [FNT10] introduits pour la réalisation polynomiale de l’algèbre de Hopf de Connes-Kreimer.