Construction de méta-modèles utilisant des nombres adimensionnels

Plans d’expériences optimaux pour la construction de méta-modèles

Définition et généralités sur les plans d’expériences

Un plan d’expériences peut être défini comme une suite ordonnée d’essais expérimentaux ou numériques. Il existe différents types de plan d’expériences et le choix d’utiliser un type particulier plutôt qu’un autre dépend de l’objectif de l’étude (analyse de sensibilité, construction d’un méta-modèle, etc.) et du moyen d’obtention des données manipulées (essais expérimentaux ou numériques). Il sera présenté ici différents types de plan d’expériences ainsi que leur domaine d’application. 

Plans factoriels à 2 niveaux (complet et fractionnaire)

Les plans factoriels sont généralement utilisés pour des étapes d’analyse de données, c’est-à-dire pour du criblage ou de l’analyse de sensibilité lorsque l’on veut regarder les effets principaux et les interactions entre des paramètres (Kamoun, Chaabouni and Ayedi, 2011; Montgomery, 2012).

Plans composites centrés (CCD)

Ils sont utilisés pour les étapes de construction de modèles, très bien adaptés aux modèles quadratiques. Construits à partir de plans factoriels entier ou non, ils permettent une meilleure estimation et modélisation des termes quadratiques d’un modèle et réduisent donc les incertitudes liées à ces derniers. Ils sont aussi utiles pour des essais expérimentaux présentant de l’incertitude sur les mesures.

Plans factoriels complets (X niveaux) et plans de types

Latin Hyper Cube (LHS) Ils sont utilisés pour les étapes de construction de modèles, très bien adaptés aux modèles d’ordres supérieurs à 2, ou pour les fonctions à bases radiales (RBF) ou de krigeage (Kai-Tai, Runze and Agus, 2006; Forrester, Sóbester and Keane, 2008). Ces plans d’expériences permettent d’explorer un grand nombre de niveaux sur l’ensemble d’un domaine à partir d’un nombre réduit d’essais, et sont donc particulièrement adaptés aux essais numériques. Comme il est montré ici, certains plans d’expériences sont plus adaptés que d’autres à certaines applications. Il est donc primordiale que l’ingénieur choisisse quel plan d’expérience il va utiliser en fonction de l’étude qu’il va mener.

Par exemple, pour réaliser une analyse de sensibilité sur 2 paramètres l’utilisation d’un plan d’expérience de type LHS peut paraitre inadaptée. En revanche, l’utilisation de plans factoriels ou à la limite de plans composites parait beaucoup plus judicieuse. Dans la littérature, il existe aussi d’autres plans d’expériences utilisables pour l’analyse de sensibilité (Morris, 1991) ou pour la construction de méta-modèles (Box, Hunter and Hunter, 2005).

Plans d’expériences optimaux et formalisme adimensionnel

Dans le paragraphe précédent nous avons introduit différents types de plans d’expériences, dont certains qui sont particulièrement bien adaptés à l’utilisation de données issues de simulations numériques. Les plans d’expériences optimaux ont été développés dans ce contexte (Montgomery, 2012). Ces types de plans peuvent optimiser l’inférence statistique d’un modèle ou la distribution spatiale des données pour couvrir au mieux l’espace d’étude (Pukelsheim, 1993; Simpson et al., 2004).

Dans le contexte d’étude de cette thèse nous sommes plutôt intéressés par les plans d’expériences assurant de bonnes propriétés de remplissage de l’espace d’étude, plus communément appelés « Space-Filling Design ». Ces types de plans d’expériences permettent de contrôler la densité de points dans chaque direction de l’espace d’étude. Le problème du remplissage de l’espace pour les plans d’expériences a déjà fait l’œuvre de nombreux travaux et est aussi appelé problème de l’empilement compact (Peikert et al., 1992; Hifi and M’Hallah, 2009). Ce problème peut être formulé sous la forme (II.2) en considérant ݀௜௝ comme la distance Euclidienne entre deux points ݔ ௜ ݔ et ௝ : ݀௜௝ ൌ ฮݔ ௝ െ ݔ௜ฮ ଶ ׊݅ǡ ݆ א ሼͳǡ Ǥ Ǥ ǡ ܰሽ (II.1) avec ܰ le nombre de points du plan d’expériences. Le problème de l’empilement compact consiste à maximiser la distance minimale entre n’importe quelles paires de points présents dans l’espace d’étude. A noter que le problème d’optimisation ainsi formulé est non-convexe.