CONDITIONS DE FINITUDE SUR LES THEORIES DE TORSION

 COUVERTURE PROJECTIVE

Dans la section 2, nous avons montré que tout R-module injectif peut ˆetre logé dans un unique R-module, le plus petit E(M) et que M est un sous-module essentiel de E(M). Nous souhaitons considérer le dual de cette injection. Ainsi nous donnons les définitions suivantes. Un sous-module S d’un module M est dit superflu dans M si , pour tout K ⊆ M et K + S = M, nous devons avoir K = M. Un module projectif P et un épimorphisme f: M → N est appelé une couverture projective de N si kerf est superflu dans M. Contrairement aux enveloppes injectives, quelques modules peuvent ne pas avoir de couvertures projectives. Par exemple, le Z-module Z / 2Z n’as pas de couverture projective. Cependant, si une couverture projective existe, alors le module projectif pour la couverture est unique `a un isomorphisme près. L’étude des couvertures projectives a été initiée par Bass, qui a démontré le résultat bien connu suivant. 1.1. Théorème 3.1. Les propriétés suivantes relatives `a un anneau R sont équivalentes: (1)- Tout R-module `a gauche possède une couverture projective; (2)- R possède la condition de la chaˆıne descendante sur des idéaux principaux `a droite; (3)- Si J désigne le radical de Jakobson de R, alors R/J est un anneau artinien semi-simple et que J est T-nilpotent `a gauche. Rappelons que J est T-nilpotent `a gauche si et seulement si , pour toute suite x1,x2,x3,… d’éléments de J, il existe un entier naturel n tel x1,x2,x3,…,xn = 0; (4)- Des R-modules `a droite non nuls possèdent des socles non nuls et R ne possède aucun ensemble d’idempotents orthogonaux infini; (5)- Pour tout R-module `a gauche M, nous avons ExtR(M, – ) = 0 si, et seulement si TorR(- , M) = 0. Nous notons que les exemples suivants sont des anneaux qui vérifient le théorème P 47 CONDITIONS DE FINITUDE SUR LES THEORIES DE TORSION 483. CONDITIONS DE FINITUDE SUR LES THEORIES DE TORSION (1) R =   Q Q Q 0 Q Q 0 0 Q   (2) R =  Q R 0 Q  (3) L’anneau des matrices triangulaires inférieures infinies dénombrables avec un nombre fini d’entrées égales et non nulles sur la diagonale principale.

COUVERTURE PROJECTIVE z-SANS TORSION

Basé sur l’idée de couverture projective, Enochs a défini le concept de couverture projective pour la théorie des torsions usuelles dans un domaine intégre. Dans son livre ”torsion free injective modules” Mark Téply a étendu la définition de Enochs `a la théorie des torsions de manière générale. Soit (z, IF) une théorie de torsion. Alors F∈ IF et un épimorphisme ψ : F → M est une couverture z-sans torsion, si les conditions suivantes sont vérifiées. (*) Pour tout F’ ∈ IF et tout homomorphisme g: F’ → M , il existe un homorphisme h : F’ → F faisant commuter le diagramme suivant: g F’ −→ M h ↓ . ψ F (**) Ker ψ ne contient aucun sous-modules non nuls de F, IF-fermés . Evidemment, la condition du diagramme dans (*) correspond `a la projectivité dans la définition de couvertures projectives, tandis que la condition (**) correspond `a la condition de sous-module superflu dans la définition de couverture projective.

COUVERTURES SANS TORSION

Nous voulons savoir quand est-ce que des couvertures z-sans torsion existent; au vu du théorème P, nous espérons que la réponse sera un type de condition de finitude sur (z, IF). Nous allons commencer par certaines simplifications utiles 

Lemme 3.2.

Soit (z, IF) une théorie de torsion dont le filtre correspondant L¸ possède un sous-ensemble cofinal de d’idéaux `a gauche engengrés par des parties finies, soit F∈ IF et soit M un module injectif . Alors ψ : F → M satisfait la condition (*) si, et seulement si, pour chaque module injectif E ∈ IF et chaque φ 00 : E → M tel que ker φ 00 ne contient pas de sous-modules IF-fermés, non nuls de E, il existe f’ : E → F telque ψof’ = φ 00 . Preuve: La partie seulement si est triviale; de sorte que nous n’allons prouver que la partie si. Supposons F’ ∈ IF et φ: F’ → M. Par le théorème 2.12, la réunion d’une chaˆıne de sous-modules de F’, IF-fermés dans kerφ est IF-fermée dans F’. Ainsi par le lemme de Zorn, il existe un sous-module IF-fermé C qui est maximal parmi les sous-modules IF-fermésde F’, contenu dans kerφ. Donc il existe φ 0 : F’/ C → M tel que φ = φ 0oη, o`u η : F’ → F’/ C est l’homomorphisme naturel. Si H/ C est un sous-module IF-fermé de F’/C contenu dans kerφ 0 , alors F’/ H ‘ (F’/C)/ (H/ C) ∈ IF et H ⊆ kerφ. Ainsi, par la maximalité de C, nous avons H = C; c’est-`a-dire H/C = 0. Comme M est injectif, alors φ 0 est prolongé par φ 00: E(F”) → M, o`u F” = F’/ C . Si kerφ 00 contient un sous-module K IF-fermé de E(F”), alors (F”+ K) / K ⊆ E(F”) / K ∈ IF; ainsi F”/ (F”∩ K) ∈ IF et F”∩ K ⊆ kerφ 00 ∩ F 00 = kerφ 0 . Donc F”∩ K = 0. Comme F” est essentiel dans E(F”), alors K = 0. Maintenant par hypothèse, il existe f’: E(F”) → F tel que ψof0 = φ 00 . Donc φ = φ 0 oη = φ 00 oη = ψof0 oη. En posant f = f 0oη, nous voyons que ψ : F → M vérifie (*).