Conditions aux limites

Ce chapitre présente le travail réalisé au cours de cette thèse sur les conditions aux limites. La quasi-intégralité de ces résultats est reprise d’un article soumis lors de la thèse [21]. La première partie de ce chapitre s’intéresse à l’imposition de conditions de Dirichlet non homogènes à des quantités dépendant non linéairement des variables entropiques. La deuxième partie explique une propriété surprenante de type « condition transparente » des conditions de Dirichlet homogènes dans le code AeTher, et la dernière section présente des résultats d’aéroacoustique sur une configuration industrielle. Cette section est dévolue à la présentation de l’imposition de conditions aux limites de Dirichlet non homogènes. Trois exemples sont détaillés. Les deux premiers, qui montrent comment imposer une variation de pression, concernent l’aéroacoustique, tandis que le dernier, qui détaille l’imposition d’une vitesse de paroi non nulle, s’applique à l’aéroélasticité. Les conditions limites de Dirichlet non homogènes sont compliquées par l’utilisation des variables entropiques détaillées dans la section 2.1.2. Les variables de travail naturelles en aérodynamique (comme la pression, les vitesses, ou encore le nombre de Mach) ne sont pas les variables du calcul. Dans ce chapitre, on suivra le travail de Shakib [145], qui a expliqué l’imposition de conditions de Dirichlet homogènes pour des calculs Navier- Stokes non linéaires utilisant les variables entropiques. Ce travail se démarque de celui de Shakib par la généralisation à des conditions non homogènes.

Imposition d’une variation de pression

La matrice S s’applique aux cinq variables entropiques d’un seul nœud du maillage (voir la section 2.2.1), et remplace la première variable par l’équation (6.3). Pour imposer une conditions aux limites sur un système complet, on indexe la matrice S . La modification des inconnues du système linéaire Ax = b pour imposer les conditions de Dirichlet non homogènes au nœud i s’écrit correspond à une combinaison linéaire des colonnes de M, afin d’éliminer l’inconnue (la première variable du nœud i) imposé par la condition de Dirichlet non homogène. Le terme Aα comme l’imposition des conditions aux limites non homogènes sur les fonctions de forme. Les fonctions test doivent également vérifier la condition aux limites de Dirichlet homogène associée. Pour cela, on multiplie à gauche le système par S élimine la ligne (ici la première du nœud i) dont l’inconnue correspondante est déjà déterminée. Cela permet en outre que cette inconnue reste nulle. On obtient ainsi la procédure pour modifier le système linéaire afin d’imposer la condition aux limites de Dirichlet de pression non homogène au nœud i. Cette procédure est appliquée pour tous les nœuds de la frontière où s’applique une telle condition de Dirichlet. Une implémentation plus efficace pour la méthode des éléments finis de cette procédure consiste à modifier les matrices élémentaires, quand l’un des nœuds de l’élément considéré est sur la frontière. La combinaison de lignes et de colonnes se fait alors sur une matrice pleine, ce qui est bien plus aisé qu’après distribution de ces matrices élémentaires sur la matrice globale creuse stockée dans un format adapté.

Après imposition des conditions aux limites de Dirichlet non homogènes, les inconnues du système linéaire sont prises dans un espace vérifiant des conditions de Dirichlet homogènes associées. Pour pouvoir retrouver à des fins de post-process la valeur des variables imposées, il faut appliquer la relation (6.3). Les conditions aux limites telles que décrites dans la section précédente imposent une variation de la pression sur la frontière. Pour l’ingénieur acous- ticien, cela pose problème car cette condition aux limites ne permet pas de contrôler l’énergie acoustique introduite dans le domaine. En effet, imposer une variation de pression sur une interface revient à imposer la somme de deux ondes acoustiques, l’une entrante dans le domaine et l’autre sortante. Aucun contrôle n’est donné pour séparer ces deux quantités. Ainsi, avec ces conditions aux limites, deux calculs sur deux configurations légèrement diffé- rentes seront difficilement comparables, puisque l’onde acoustique sortante ne sera pas la même dans les deux calculs, ce qui fera varier l’énergie introduite dans le calcul.