Condition d’optimalité

Présentation du problème

Dans tout ce paragraphe on considère un ouvert Ω borné de frontière lipschitzienne. On note ν l’ensemble des applications lipschitziennes de RN → RN à support compact, c’est-à-dire que V ∈ ν si V = (V 1, …, V N) est une application de RN → RN avec toutes ses composantes V i lipschitziennes et à support compact. Le fait d’imposer un support compact n’est pas du tout une restriction : comme on souhaite définir des perturbations de l’ouvert Ω , le faire avec des applications qui sont à support compact contenant strictement Ω ne change rien. Pour tout réel petit t, l’application Id+tV est une bijection, comme perturbation de l’identité (c’est une bijection dès que |t| < kV k −1 L∞ d’après les résultats classiques dans les algèbres de Banach). On définit alors l’ouvert Ωt par : Ωt = (Id + tV )(Ω) =n Id + tV (x), x ∈ Ω o . On se donne une fonction f ∈ L 2 loc(RN ) et on considère la solution u du problème de Dirichlet : ( −∆u + u = f dans Ω u = 0 sur ∂Ω De mˆeme, pour tout t, on considère la solution ut du problème de Dirichlet : ( −∆ut + ut = f dans Ωt ut = 0 sur ∂Ωt Comme fonctionnelle, on s’intéresse dans ce paragraphe à : J(Ω) = a R Ω |∇u − ∇v0| 2dx + b R Ω |u − v1| 2dx (5.2) o`u a et b sont des réels fixés et v0 (respectivement v1) une fonction de H1 loc(RN ) (respectivement de L 2 loc(RN )) .Définition 5.1 – On appelle dérivée (au sens de Gaˆteaux) de J en Ω , suivant la direction de déformation V, la limite notée dJ(Ω ;V), si elle existe : dJ(Ω; V ) = limt→0 J(Ωt) − J(Ω) t On se doute que pour pouvoir calculer cette éventuelle dérivée, il va falloir avant tout dériver l’état ut par rapport à t. Or les fonctions ut ne sont pas définies sur le mˆeme ouvert, on ne peut donc pas considérer aussi facilement des quotients différentiels du type (5.1). Il y a en fait trois façons de contourner cette difficulté. -Première méthode Dans le cas d’une condition de Dirichlet homogène comme ici, on peut s’en tirer de la façon habituelle en prolongeant par 0 en dehors de Ωt . Notons u˜t (ou ˜u ) cette fonction qui est dans l’espace de Sobolev H1 (RN ). On peut alors étudier la dérivabilité de la fonction t → u˜t définie dans un voisinage de 0 et à valeurs dans H1 (RN ). Evidemment dans le cas d’une condition de Neumann, cette méthode de prolongement n’est pas possible. Définition 5.2 – On notera u’(Ω ;V) ou plus simplement u’ la limite (dans H1 (RN )) u 0 = lim t→0 u˜t − ut t (5.3)

-Deuxème méthode

Soit K un compact inclus dans Ω , alors par définition de Ωt , on a K ⊂ Ωt pour t assez petit et les fonctions ut ainsi que la fonction u sont ainsi définies sur K. On peut alors étudier la dérivabilité de la fonction t → ut et ceci pour tout compact K. Comme Ω est la réunion de tels compacts, on voit qu’ainsi u 0 (donnée par la mˆeme formule qu’en (5.3)) est bien définie sur l’ouvert tout entier. -Troisième méthode On peut transporter toutes les fonctions sur l’ouvert fixe par le changement de variable induit par la transformation Id + tV . On peut alors étudier la dérivabilité de la fonction ut o (Id + tV ) définie dans un voisinage de 0 et à valeurs dans H1 (Ω). C’est ce que les mécaniciens appellent la dérivée matérielle, la notion présentée dans les deux premières méthodes étant la dérivée de forme. Remarquons que la dérivée de forme de u (définie par la première ou la deuxième méthode) est reliée à la dérivée matérielle (définie par la troisième méthode) par la relation : d dt ut\K|t=0 = d dt ut o (Id + tV )|t=0 − ∇u.V (5.4)

Expression de la dérivée de l’état

Enonçons tout d’abord le résultat général : Théorème 5.1 Pour tout V ∈ ν, l0application t → ut de R dans L2 (RN ) est dérivable et sa dérivée est donnée par : u 0 (Ω; V ) = ω − ∇u.V o`u ω est la solution du problème variationnel :    ω ∈ H1 0 (Ω) et ∀ϕ ∈ H1 0 (Ω) R Ω ∇ω.∇ϕdx + R Ω ω.ϕdx = − R Ω f∇ϕ.V dx − R Ω (∇u.∇ϕ + uϕ)divV dx + R Ω ([V 0 ] + [V 0 ] t )∇u.∇ϕdx o`u [V 0 ] désigne la matrice des dérivées premières de terme général ∂Vi ∂xi et [V 0 ] t sa transposée Remarquons que dans le cas o`u l’état u est un peu régulier, c’est-à-dire u ∈ H2 (Ω), alors l’expression de la dérivée se simplifie : Corollaire 5.2 – Si u ∈ H2 (Ω), ce qui est le cas quand Ω est de classe C 2 , alors u 0 est caractérisée comme étant l’unique solution du problème de Dirichlet : ( −∆u 0 + u 0 = 0 dans Ω u 0 = −∂u ∂n V.n sur ∂Ω Dans la suite nous donnerons deux formules fondementales qui nous permettent de voir comment dériver les fonctionnelles en question par rapport au domaine.