Comportement d’une goutte sous champ homogène étude théorique

Comportement d’une goutte sous champ homogène étude théorique

L’application d’un champ électrique sur un milieu matériel entraîne différentes perturbations dans ce milieu. Il polarise la matière, et ce d’autant plus que la permittivité diélectrique du ma- tériau est élevée. Le champ induit alors une force sur les matériaux polarisables proportionnelle au gradient du champ au carré. On trouve plusieurs exemples d’applications de ces forces di- électrophorétiques [101] en microfluidique, et notamment le piégeage de particules diélectriques en suspension [63], de cellules [63, 60] et de molécules d’ADN [9].Dans le cas d’un milieu conducteur, les charges libres du matériau sont déplacées par l’action du champ qui exerce sur elles des forces de type coulombiennes. Dans les liquides, ce mouvement des porteurs de charges se traduit en volume différemment selon la nature du milieu qui contient le liquide conducteur. Par exemple, une goutte de liquide conducteur dans un liquide isolant sur un substrat solide mis sous champ présentera des phénomènes d’électromouillage [91].Dans ce qui suit, nous allons soumettre des liquides à des champs électriques oscillants. Nous supposons ces milieux parfaitement diélectriques. Ce critère correspond à la limite hautes fré- quences d’un milieu quelconque ([66, 68, 69, 15]) : si la fréquence du champ électrique imposé est supérieure à la fréquence diélectrique fNous étudions ici l’effet d’un champ électrique homogène sur un milieu purement diélectrique composé de deux phases de permittivités diélectriques différentes : l’une de ces phases forme la goutte, et l’autre la phase continue du système. Dans le cas où la goutte a une permittivité diélectrique infinie, et pour une géométrie de fort rapport d’aspect, nous présentons une for- mulation analytique approchée qui permet de calculer la forme d’équilibre ainsi que le saut de pression entre l’intérieur et l’extérieur de la goutte sous champ.

Fréquences diélectriques de quelques matériaux. Les mesures de conductivités pour les phases organiques sont extraites de la référence [38]. Celle de l’eau désionisée vient de la notice du purificateur d’eau. Celle de la solution de fluorescéine est estimée à partir de la conductivité des ions sodium Na Afin de déterminer le comportement d’un système sous champ, on cherche à écrire le potentiel thermodynamique d’un matériau diélectrique plongé dans un champ électrique. À potentiel imposé, l’action du champ électrique ajoute à l’expression de l’énergie libre le terme diélectrique suivantOn cherche à déterminer l’action mécanique d’un champ sur un milieu. La méthode la plus générale pour déterminer le tenseur des contraintes électromécaniques, dit tenseur de Maxwell, est décrite par Laudau et Lifshitz [76]. Nous décrivons rapidement les étapes du raisonnement :on place un fluide diélectrique entre deux plaques conductrices maintenues à potentiel constant. Les plaques sont alors soumises à un déplacement virtuel isotherme, qui entraîne une déformation homogène du diélectrique. Le travail réalisé sur les plaques est égal à la variation de l’énergie libre du diélectrique. On en déduit l’expression du tenseur des contraintes mécaniques qui, dans le cas d’un milieu linéaire et homogène, prend la forme symétrique suivante :

On considère une goutte du milieu 2 immergée dans le milieu 1. L’équilibre mécanique est atteint lorsque la tension de surface compense la discontinuité des contraintes mécaniques (d’origine hydrodynamique et électrique). Si la goutte est à l’arrêt, la condition d’équilibre s’écrit :Une cellule de Hele-Shaw est un canal de rapport d’aspect grand devant l’unité, c’est à dire dont la largeur est très grande devant la profondeur : l >> h. Dans cette géométrie, on montre notamment qu’un écoulement monophasique peut être considéré comme dérivant d’un potentielsi on moyenne les grandeurs (telles que le champ de vitesse) dans la profondeur [55]. Pour les écoulements diphasiques, on se ramène de façon similaire à un problème bidimensionnel en moyennant les grandeurs sur la profondeur [110]. En invoquant la séparation d’échelle, on montre que la courbure dans la profondeur est constante et vaut C On soumet maintenant une goutte en géométrie Hele-Shaw à un champ électrique uniforme. Les matériaux sont neutres et non-conducteurs. La forme de l’équation qui régit l’écoulement et les simplifications dues à la géométrie du système restent valides. Le champ électrique modifie par contre les conditions aux interfaces, comme le montre l’équation 4.14.l’autre sur des échelles comparables à la profondeur. Nous étudions ici le resserrement des lignes de champ dans la troisième dimension, c’est-à-dire dans la petite dimension de la cellule. Nous analysons notamment l’influence de ce phénomène sur la vision bidimensionnelle que l’on peut avoir du problème.