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Support de cours comportement d’un immeuble en béton armé sous séisme, tutoriel & guide de travaux pratiques dynamique des structures en pdf.
Méthode des éléments finis appliquée aux structures discrètes
Dynamique : Les variations temporelles sont trop importantes pour négliger les effets d’inertie et d’amortissement.
Analyses modale et temporelle par éléments finis
Analyse modale en vibrations libres : membrane rectangulaire
Modélisation de la maquette SMART sous séisme : utilisation d’un modèle d’endommagement anisotrope 3D G. Lebon1, F. Ragueneau1, R. Desmorat1, Giens 2009 maquette SMART = éléments barre élastoplastique, modèles élastiques 3D (poutres, fondation) ou 2D (planchers)
La résolution dépend du développement de Taylor utilisé :
– explicite (différence centrée, Runge Kutta,…)
– implicite (Newmark, HHT,…)
Comportement d’un immeuble en béton armé sous séisme
Structure étudiée: bâtiment à ossature en béton armé Comportement mécanique: fissuration béton (mécanique de l’endommagement), plasticité armatures Conditions aux limites: encastrement à la base Chargement: séisme mono-directionnel (repère relatif)
L’oscillateur à 1 degré de liberté
Structure dissipative excitée
Solution générale = superposition de deux mouvements
– réponse transitoire (ou libre) solution de l’équation homogène :mx(t)cx(t)kx(t)0
– réponse stationnaire (ou forcée) solution particulière de l’équation complète :mx(t)cx(t)kx(t) f (t)
Réponse à une sollicitation harmonique f(t)-Fsinw(t) est solution de X(t)-Xsin(w(t)-i)
L’amplitude de la force appliquée à la masse est de 125N.
Quels sont les intervalles de la pulsation forcée (sollicitation) entrainant en régime en permanent une amplitude maximale de 0.2mm ? L’amortissement est négligeable
Structure dissipative excitée : sollicitation harmonique
Le système est déséquilibré par une masse m0 tournant à une vitesse angulaire et située à une distance e de son axe de rotation.
Le sol est animé d’un déplacement harmonique de 10mm d’amplitude à une fréquence de 35Hz.
Quelle est l’amplitude relative et absolue de la masse en régime permanent ?
Application
Quelle est l’amplitude absolue du système se déplaçant à une vitesse v sur une route ayant un profil sinusoïdale ?
Structures discrètes
Définition
Une structure discrète est composée d’éléments discrets de forme simple (barres, poutres) interconnectés en structures plus complexes (treillis, ossature).
Treillis (structure réticulée) : les extrémités articulées des barres sont
assemblées pour former des structures planes (2D) ou spatiales (3D). Les
barres travaillent seulement en traction/compression (pas de flexion).
Ossatures : les poutres assemblées travaillent aussi en flexion (liaison
encastrement).
Noeuds articulations parfaites Dans la pratique la liaison peut être rigide (soudure) ou souple (boulon d’attache).
Ces structures sont très utilisées: Légèreté, résistance, éléments préfabriqués
Les éléments barres (cas 2D)
Objectif : Construire les matrices de masse et de raideur (M et K) ainsi que l’équation dynamique (sans amortissement :
a) Discrétisation
b) Interpolation des déplacements
c) Déformations et contraintes
d) Énergie de déformation : matrice de raideur
e) Énergie cinétique
1. Matrice de masse cohérente
2. Matrice de masse concentrée
f) Passage de repères local-global
g) Assemblage des éléments
h) Équations de Lagrange
Les éléments barres sont soumis seulement à des efforts normaux (pas de couple transmis)
Les éléments barres (cas 2D) : Interpolation des déplacements
Hypothèse : Au sein de l’élément e [12] le déplacement varie linéairement de q1 à q2 entre les noeuds 1 et 2.
On suppose que la masse m de la barre est concentrée aux 2 noeuds:
Avantages : – Construction facile – Matrice diagonale inversion immédiate
Inconvénient : résultats moins précis (spatialement et temporellement)
Les énergies cinétique et de déformation de la structure constituée de n barres sont obtenues par sommation
Fréquences et modes propres
Équation du mouvement pour un système discret à N degrés de liberté le vecteur des inconnues globales dépendant de la structure (dépl, rot°)
On recherche la solution de l’équation pour une vibration libre F=0
On suppose qu’il n’y a pas d’amortissement (introduction par la suite):
Par séparation des variables d’espace et de temps (indépendantes) puis écriture sous forme d’une fréquence pure.
Introduction
I. L’oscillateur à 1 degré de liberté : Structure dissipative excitée
1) Sollicitation harmonique
II. Structures discrètes
1) Définition
2) Les éléments barres
3) Applications
4) Les éléments poutres (exemple)
III. Méthodologie de résolutions des équations du mouvement
1) Fréquences et modes propres
2) Superposition modale
3) Méthode d’intégration directe
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