Comparaison d’estimateurs à des calculs par éléments finis

Comparaison d’estimateurs à des calculs par éléments finis

Ce chapitre est dédié à l’utilisation d’estimateurs présentés dans le chapitre précédent, de façon à juger de leur efficacité à reproduire des résultats numériques. Nous avons mentionné au chapitre précédent que notre choix de schéma s’était porté sur le schéma IDD. On veut donc vérifier ici l’efficacité de ce schéma avant de passer à son utilisation dans le cadre de la réaction alcali-silice. Nous commençons par exposer la formulation variationnelle que nous avons utilisée pour nos simulations en deux dimensions et déformations planes, ainsi que les conditions aux limites utilisées. Nous expliquons ensuite comment nous déduisons les modules homogénéisés à partir de différents chargements. On décrit brièvement l’algorithme de génération de nos modèles élé- ments finis, puis on montre un exemple de détermination empirique de la taille de VER, d’après l’approche de Kanit. On résume enfin les informations principales dont nous avons besoin pour pouvoir utiliser les estimateurs, puis on passe aux comparaisons entre estimateurs et simulations par éléments finis, traitant différents cas : pores sphériques, pores aplatis avec différentes orien- tations. Enfin, nous testons un motif spécifique à l’alcali-réaction, en préparation du travail à venir.

Formulation variationnelle en déformations planes

Les calculs ont été effectués dans le logiciel FreeFem++. Nous avons choisi ce programme à cause de sa flexibilité concernant la possibilité d’effectuer un grand nombre de calculs par élé- ments finis à la suite. L’utilisateur doit définir l’espace d’éléments finis dans lequel on recherche la solution, le maillage correspondant, et écrire la formulation variationnelle du problème auquel il s’intéresse. Le logiciel se charge ensuite de résoudre le système linéaire obtenu. La première étape est donc l’écriture de la formulation variationnelle. Nous avons décidé de travailler en déformation plane. L’objectif étant de comparer des solutions numériques à des estimateurs, il nous a semblé qu’il n’était pas utile que les simulations soient très compliquées (par exemple en introduisant de vrais calculs 3d ) pour exhiber les faiblesses ou les atouts de tel ou tel schéma d’homogénéisation. Dans cette partie on écrit donc la formulation variationnelle que l’on a adoptée et on détaille les différents types de conditions aux limites utilisées en vue de déterminer les propriétés poroé- lastiques moyennes de différents milieux hétérogènes contenants des pores ou des fissures sous pression.La formulation variationnelle de notre problème est écrite à partir du Principe des Travaux Virtuels, fondement de la mécanique des milieux continus, dans le cas statique, c’est-à-dire négli- geant les travaux d’accélération, dans l’esprit de la présentation fait par Bonnet [7]. On adopte une formulation en déplacement comme c’est le cas traditionnellement pour les éléments finis. Soit le milieu continu Ω de tenseur des modules élastiques éventuellement hétérogène C(x), de frontière ∂Ω. Cette frontière se divise en une frontière intérieure .

Disposant des moyennes énoncées au paragraphe précédent, on peut, selon le chargement im- posé, déterminer une à une toutes les propriétés homogénéisées recherchées. Nous nous intéressons à des matériaux poreux. On cherche donc un tenseur des modules d’élasticité homogénéisé, mais aussi les propriétés poromécaniques, qui décrivent le comportement du matériau, à l’échelle ma- croscopique, lorsqu’un fluide sous pression occupe une partie de son espace poreux, propriétés qui sont décrites dans la partie de notre mémoire consacrée à la microporomécanique (§ 3.4). Lors de notre travail numérique nous déterminerons par éléments finis les coefficients voulus en nous appuyant directement sur les équations (4.19). En revanche, lors de la comparaison des résultats numériques avec les approches analytiques par estimateurs, nous serons aidés par les relations (4.20), qui relient les coefficients décrivant le comportement du solide vis-à-vis de la pression de fluide (Bmodule de Biot de la phase j dans le problème i) à la moyenne du tenseur de localisation classique sur les inclusions, déterminé sous chargement extérieur.