Comment classer les questions de mathématiques

Comment classer les questions de mathématiques .

Parmi les “questions de mathématiques”, nous classons les problèmes et les exercices qui relèvent, d’une façon ou d’une autre du domaine mathématique : soit qu’ils soient énoncés en langage mathématique, soit que leur traitement puisse faire, d’une façon ou d’une autre, appel aux mathématiques. Parmi ces questions, nous trouvons les grands problèmes qui ont constitué ou constituent encore des défis pour les mathématiciens. Nous trouvons aussi les problèmes résolus depuis plus ou moins longtemps, mais qui peuvent encore, lorsqu’ils sont présentés sous une forme appropriée, constituer des défis pour les élèves, les étudiants, ou plus généralement, les amateurs de réflexion intellectuelle auxquels ils peuvent être proposés. Enfin, nous trouvons les exercices de mathématiques qui constituent surtout des moyens d’entraînement en terrain connu. Dans ce cas, on sait en général ce qu’il faut faire et, dans une certaine mesure, comment le faire… reste à le faire ! La question qui nous est posée est celle de trouver un système de classement d’un ensemble signifiant de telles questions, système qui pourrait, par exemple, être utilisée par la banque de questions du Kangourou des mathématiques, laquelle comporte plusieurs milliers de questions dont une bonne partie ont déjà été utilisées dans le cadre de cette compétition internationale. Des solutions partielles existent déjà autour de plusieurs banques de questions et de problèmes, ainsi qu’autour de recherches plus générales sur l’enseignement des mathématiques. Le présent article sera l’occasion de présenter quelques-unes des solutions déjà utilisées et de proposer une classification pouvant répondre à l’originalité de Kangourou. Précisons d’emblée que le Kangourou des mathématiques est essentiellement dirigé vers les élèves de l’enseignement scolaire (de l’élémentaire aux classes terminales des lycées) . Nous en tiendrons compte dans ce texte, sans pour autant nous interdire des incursions vers les niveaux supérieurs. Devant une telle banque de questions, l’utilisateur pourra vouloir sélectionner des questions mettant en jeu des contenus identifiés, susceptibles de contrôler telles capacités particulières, spécifiés pour un âge ou un niveau scolaire donné, etc… Plutôt que cette entrée de type scolaire, il pourra préférer une entrée par les types de traitements susceptibles d’être mis en jeu ou par les processus mentaux susceptibles d’être activés. Nous qualifierons cette seconde approche d’entrée par l’activité mathématique. Chacune des entrées a évidemment son intérêt et, à notre avis, un système de classification devrait intégrer ces deux entrées. D’autres critères, transversaux à ces deux entrées méritent une attention particulière, il s’agit de la difficulté et de la complexité. L’idée de privilégier un critère particulier, conduisant à un ordre total des questions, n’a d’intérêt que s’il s’agit de préparer une édition imprimée de l’ensemble des questions disponibles. On peut, dans ce cas utiliser plusieurs critères, mais on sera contraint de les emboîter (par exemple : [Domaine mathématique [sous domaine [difficulté [type d’activité […]]]] Heureusement, le recours à l’informatique permet d’envisager des classements multicritères ne supposant pas un tel ordre mais autorisant chacun à privilégier, éventuellement, le ou les critères de son choix, sans pour autant se désintéresser des autres. On sait bien, d’autre part, que ces critères ne sont pas univoques et que certains d’entre eux (par exemple la difficulté) sont carrément subjectifs.

Une classification des types de problèmes.

Les problèmes et les exercices sont des questions posées à une audience plus ou moins large. Les 23 problèmes de Hilbert étaient des questions destinées aux mathématiciens ; les problèmes publiés chaque semaine dans le journal le Monde sont destinés à un large public ; les questions du Kangourou des Mathématiques sont plutôt destinées à des jeunes sous statut scolaire ; … Mais il faut encore compter avec les problèmes et les exercices donnés dans les examens (fonction contrôle et validation de connaissances), dans les manuels scolaire (fonction aide à l’apprentissage), dans des études telles qu’EVAPM (fonction évaluation),… Une base largement ouverte devra comporter des exercices et des problèmes de ces divers types et un système de classification devrait permettre de retrouver rapidement des énoncés répondant à telle ou telle caractéristique. Une première classification pourrait donc concerner les types d’énoncés selon ce qu’ils suggèrent comme rapport qu’ils sont susceptibles d’établir entre ceux qui s’y soumettent et les mathématiques. Ce rapport concerne-t-il le côté ludique ou curieux, la volonté de vaincre des difficultés nouvelles, de se laisser à nouveau étonner par les découvertes que l’on peut faire ? S’agit-il simplement d’apprendre de nouvelles notions en les confrontant aux problèmes qui leur donnent sens ? S’agit-il encore, et simplement, d’entraîner des notions nouvellement ou anciennement étudiées ? Le livre du problème de L’Irem de Strasbourg (cf. références), reprenant des idées de Georges Glaeser, propose une classification des énoncés que nous modifions légèrement ci-dessous.  Exercices d’exposition (pour acquérir des connaissances)  Vrais problèmes (exercices de recherche – pour chercher – éprouver – trouver)  Exercices d’application (pour éprouver la pertinence et l’efficacité de notions nouvellement ou anciennement étudiées)  Exercices d’entraînement (pour entraîner des notions acquises)  Exercices techniques (pour mener à son terme une tâche que l’on sait pouvoir mener, mais en faisant preuve de méthode, de soin et de précision)  Manipulations (pour anticiper, conjecturer,…)  Exercices d’évaluation Cette classification répond à la question du pourquoi : pourquoi proposer tel ou tel exercice ? Elle ne dit rien de plus sur les autres points évoqués au premier paragraphe. Mais nous avons là un premier critère de classification qui nous semble important et qui mérite d’être croisé avec les suivants. 3. Forme des questions Les questions peuvent être ouvertes, semi-ouvertes ou fermées. Elles peuvent être à choix multiples ou autres types d’appariement (QCM). Une QCM peut elle-même être plus ou moins ouverte. La démarche est assez souvent ouverte, tandis que la réponse peut être strictement fermée (réponse à choisir parmi 4 ou 5 réponses bien définies). La présence d’une issue telle que « autre réponse » ou d’autres astuces rédactionnelle permet d’ouvrir la réponse.  Questions ouvertes On considère qu’une question est ouverte lorsque l’énoncé ne comporte aucune indication sur la réponse à trouver. Parmi les questions ouvertes, on peut encore distinguer plusieurs types d’énoncés : o Problèmes ou questions dont la réponse n’apparaît pas dans l’énoncé o « Problèmes ouverts » (au sens donné à ce terme par G. Arsac & al. – Cf. références) o Questions type QROC (Questions à Réponses Ouvertes et Courtes)  Questions semi-ouvertes La réponse complète n’apparaît pas dans l’énoncé, mais des éléments sont donnés permettant de situer la ou les bonnes réponses dans un ensemble limité.  Questions fermées Dans ce cas, la réponse est connue ou figure dans une liste de réponses proposées. À noter que la question peut être fermée alors que la démarche est complètement ouverte. Une catégorie particulière de questions fermées concerne les Questions à Choix Multiples et questions d’appariement. Notons qu’une QCM accompagnée de la demande « justifiez votre réponse » n’est pas vraiment une QCM. C’est alors une question semi-ouverte o Les Questions à Choix Multiples et questions d’appariement (fermées)  Question en Vrai-Faux ou en Oui-Non (à éviter résolument, sauf, éventuellement ; lorsqu’il s’agit de mettre à jour des conceptions erronées)  QCM simple (un tronc de question et entre trois et six assertions associées dont une et une seule est vraie)  QCM mullti-réponses (un tronc de question et entre trois et six assertions associées ; chacune d e ces assertions pouvant être vraie ou fausse).  QCM à prise de risque (c’est le cas où il vaut mieux « passer » – Je Ne Sais Pas – que de faire une erreur. C’est encore le cas des QCM à indice de certitude : le « candidat » accompagne sa réponse d’une valeur de certitude comprise entre 0 et 1).

Ces critères seront définis précisément par la suite, mais avant d’aller plus loin, nous souhaiterions montrer des cas où l’utilisation de ces critères est associée à un moteur de recherche lui même associé à une base d’énoncés. C’est le cas de la base EVAPMIB qui rassemble les questions issues de 15 ans d’études EVAPM (de l’APMEP), ainsi que des questions provenant d’autres études à grande échelle. Dans cette base, il est possible d’accéder aux questions en croisant les divers critères énoncés ci-dessus. Le lecteur trouvera en annexe quelques questions extraites de cette base qu’il peut consulter directement cette base à l’adresse : http://ctug48.univ-fcomte.fr/evapmib/ Une nouvelle base EVAPMTEX est en cours de réalisation, complètement sous Tex, ce qui assure une très bonne qualité typographique. Cela a été l’occasion d’intégrer les critères de PISA . Ici encore, le lecteur trouvera des exemples de fiches en annexe. Une base importante de plus de 20 000 problèmes a été développée par le département de mathématiques de l’Université du Missouri (USA). Cette base, nommée « 20 000 Problems Under the Sea » est un collationnement des problèmes posés jusqu’en 1990 dans 38 revues mathématiques (dont l’American Mathematical Monthly) et dans 21 compétitions nationales et internationales (dont les Olympiades internationales et le concours Putnam). Le niveau des énoncés est assez élevé et correspond au moins, pour de très bon élèves, au niveau des classes terminales des lycées. Beaucoup parmi les problèmes posés s’adressent plutôt à des étudiants de post-bac. L’intérêt de cette base est évident, mais il n’y a pas vraiment de système de classification associée, sinon par les sources des problèmes. La recherche proprement dite se fait sur les mots des titres des énoncés, ou plein texte sur les contenus des énoncés. Bien sûr ce système de repérage nous semble tout à fait insuffisant pour l’usage que nous voulons en faire. Cette base est consultable sur le Web à l’addresse : http://problems.math.umr.edu/index.htm Venons en donc à préciser les critères de classement qui nous semblent intéressants. 5. Classement par contenus Le critère de classement auquel on pense en premier lieu est évidemment le domaine mathématique concerné : arithmétique, algèbre, géométrie, analyse, probabilités, … On peut affiner en classant les problèmes par sous-domaines : géométrie synthétique, géométrie analytique, géométrie différentielle,… Les notions mathématiques peuvent en effet être classées de cette façon, bien que les recouvrements soient courants, et bien que telle notion classée ici en algèbre sera classée ailleurs en analyse (surtout au niveau de l’enseignement secondaire). 5.1 La classification MSC (Mathematics Subject Classification) Difficile de ne pas évoquer ici cette classification générale qui couvre tous les domaines des mathématiques présentes et passées. Développée par l’American Mathematical Society, cette classification peut être consultée et téléchargée sur le site de cette association, à l’adresse : http://www.ams.org/msc/. Les titres des entrées principales s’étalent sur deux pages et le détail de la classification occupe 70 pages. Cette classification serait utile pour classer les problèmes de « 20 000 problems under the sea », mais elle est manifestement trop exhaustive pour ce que nous souhaitons faire. Cependant il sera bon de l’avoir à porté de main lorsqu’il s’agira de trouver des mot-clés relatifs aux contenus relatifs à certains problèmes de niveau élevé. 5.2 Une classification plus modeste Dans la base EVAPMIB, il a été jugé suffisant de classer les contenus en thèmes :  Thème C: Tracés – Constructions géométriques  Thème D: Connaissance et utilisation des théorèmes en géométrie  Thème Y: Géométrie dans le plan muni d’un repère (géométrie analytique)  Thème E: Géométrie de l’espace  Thème N : connaissance des nombres – calcul numérique  Thème A : Calcul littéral – Algèbre  Thème P : Proportionnalité et situations affines  Thème V: Aires – Volumes  Thème S Statistiques et Probabilités  Thème F : Fonctions et Analyse Pour une base plus variée, il pourrait suffire d’affiner et de compléter ces catégories. Telles qu’elles elles conviennent bien pour las mathématiques scolaires. La base « 20 000 Problems Under the Sea » utilise la classification suivante pour les contenus Algebra ; Analysis ; Applied Math ; Combinatorics ; Game Theory ; Geometry ; Higher Algebra ; Linear Algebra ; Number Theory ; Probability ; Recreational Math ; Set Theory ; Solid Geometry ; Statistics ; Symbolic Logic ; Topology ; Trigonometry ; Toutefois, comme EVAPM elle complète en associant à chaque question des mots clés relatifs aux contenus. Le critère de classement « contenus » convient assez bien pour classer les exercices d’application (du cours). Dans ce cas l’étudiant est en effet incité à mettre en œuvre telle(s) notion(s) particulière(s) identifiée(s) dans tel(s) domaine(s) particulier(s). Mais, sauf à lui interdire de faire preuve d’imagination et de s’aventurer hors du domaine ainsi balisé, pour trouver d’éventuelles solutions personnelles, les procédures de résolution ne sont pas assurées de respecter le classement utilisé. En ce qui concerne les problèmes, il s’agit de situations qui ne sont pas toujours associées à un domaine de contenu bien identifié. Ils peuvent être énoncés en termes non mathématiques ne suggérant pas de contenu mathématique particulier. Les associer à un domaine de contenu est déjà suggérer une démarche particulière de résolution. Il convient d’ailleurs de distinguer le langage utilisé dans l’énoncé du problème, qui peut relever d’un domaine, et une possible méthode de résolution qui peut, elle, relever d’un autre domaine. Qu’ils soient, ou non, énoncés en termes mathématiques, les problèmes supposent une mathématisation, voire une modélisation qui peut se faire dans des domaines différents. Leur résolution peut alors s’appuyer sur des contenus mathématiques qui dépendent des connaissances de la personne qui traite la question. Autrement dit le contenu n’est pas absolument intrinsèque à la question.