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Incertitudes
On vient de voir que les modèles utilisés pour la commande robuste se constituent d’un modèle nominal G(s) et d’un modèle pour les incertitudes ∆(s). Le modèle mis en place traduit les relations existantes entre les commandes et les sorties. La qualité du modèle dépend du faible écart avec les dynamiques du régime réel.
Les origines de provenances des incertitudes sont multiples : incertitudes sur des paramètres physiques, dynamiques négligées, fonctionnements sous des conditions extrêmes …. Les incertitudes sont représentées par deux types : structurées et non structurées .
Les incertitudes structurées sont dues aux variations des paramètres du modèle du système. Les incertitudes non structurées ont pour origine la non prise en compte de certaines dynamiques dans la modélisation, ou la linéarisation autour d’un point de fonctionnement.
Nous préciserons dans ce qui suit les différentes formes d’incertitudes des modèles, nous déterminerons pour chaque type la matrice de transfert du modèle perturbé associée.
Incertitudes structurées : En général, un système possède des incertitudes multiples et localisées. Le problème d’analyse de la stabilité robuste avec ce type d’incertitudes peut alors se ramener à une matrice d’incertitudes sous forme diagonale formée de blocs réels ou complexes, parfois répétés.
Les incertitudes structurées concernent les variations paramétriques des dynamiques des procédés et les coefficients des équations différentielles du procédé, elle engendre une forme de structuration dans la matrice des incertitudes ∆ .
Incertitudes non structurées : Les perturbations peuvent être rassemblées sous forme d’un seul et unique bloc ∆, qui représente les dynamiques en hautes fréquences. Ceci est dû au fait que des dynamiques sont négligées au cours de la modélisation. Cette représentation des incertitudes est dite « non structurée ». Dans le cas des systèmes linéaires, le bloc d’incertitudes est symbolisé sous la forme d’une matrice de transfert. On représente cette matrice de transfert en fonction du procédé réel Gp(s) et du modèle nominal G(s). Les différents types d’incertitudes non structurées sont au nombre de trois : additives, multiplicatives en entrée et multiplicatives à la sortie.
Conditions de robustesse :
La stabilité et les bonnes performances des systèmes multivariables en boucle fermée sont les priorités pour la commande robuste. Afin de connaître si une loi de commandes est robuste, des contraintes sur la stabilité et sur les performances sont introduites, ceci engendre la vérification de conditions, dites de robustesse sur la stabilité et sur les performances. Pour rappels, les considérations pour la synthèse de commandes robuste sont les suivantes :
poursuite des grandeurs de sorties ; rejet de l’effet des perturbations ; sensibilité aux incertitudes de modèles ; bonnes marges de stabilité ; sensibilité aux bruits de mesures.
Condition de robustesse sur la stabilité : Un système multivariable est considéré comme stable s’il possède de bonnes marges de stabilité (marges de gain et de phase) : c’est le principal objectif de tout type de commande des systèmes multivariables. Toutefois, la synthèse pour l’obtention des contrôleurs s’effectue sur un modèle nominal, il ne décrit pas toujours le procédé réel avec exactitudes et précisions, d’où le recours à la notion d’incertitudes .
Condition de Robustesse sur les performances : Ayant abordé la robustesse sur la stabilité, il est aussi important d’apporter cette propriété sur les performances. Parmi les performances que doit satisfaire le contrôleur K(s), on cite :
La régulation face aux effets des perturbations : insensibilités des sorties face aux perturbations agissant sur le système ;
le découplage des entrées / sorties des systèmes ; la limitation des signaux critiques : délivrer aux actionneurs des signaux acceptables et surtout tolérables.
Concrètement, la robustesse sur les performances signifie que les performances désirées sont garanties pour tous les modèles perturbés tenu en compte dans la synthèse. Le raisonnement pour l’obtention de la robustesse sur les performances est similaire à celui pour la robustesse sur la stabilité, où l’on utilise une matrice d’incertitudes fictives (fixée par le cahier des charges). Avoir de bonnes performances passe par minimiser certains signaux, particulièrement le signal d’erreurs e(s).
Modèles considérés
On désigne par les modèles considérés toute formulation mathématique pour la description des dynamiques des systèmes multivariables. Le procédé possèdera un modèle, soit par une représentation temporelle (équations d’état) ou par une représentation fréquentielle (matrice de transfert).
En réalité les procédés sont sujets à diverses perturbations, entraînant la variation de leurs dynamiques. On observe alors plusieurs modèles possibles pour la description des systèmes. Ce qui amène à effectuer un choix précis du modèle nominal. Les autres modèles sont fonction du modèle nominal et des incertitudes entre les modèles. L’ensemble des modèles tolérés désigne la classe de modèles ou les modèles considérés.
Modèle nominal : On s’intéresse à la commande de systèmes multivariables dont le fonctionnement est défini une classe de modèles. Les modèles sont sous forme de systèmes d’équations différentielles linéaires à coefficients constants, définissant le comportement nominal du procédé et un modèle pour les incertitudes. Le modèle nominal G(s) et le modèle des d’incertitudes ∆(s) incluent l’ensemble des dynamiques possibles du procédé dans le cadre d’un fonctionnement normal.
Classe de modèles : L’ensemble des modèles « nominal – incertitudes » constitue la classe de modèles considérés pour la description du système multivariable.
Après avoir défini le modèle nominal qui servira de référence pour le système multivariable, on cherche à déterminer les incertitudes tolérées. Les incertitudes sont les écarts entre le comportement nominal du modèle et le comportement réel du procédé.
Les incertitudes sont de deux types : les incertitudes définies par une borne supérieure de l’écart de modèles dans le plan fréquentiel, et les incertitudes définies par les variations des paramètres du modèle nominal.
Table des matières
Introduction générale
Chapitre 1 : Commande robuste des systèmes multivariables
1.1 Introduction
1.2 Configuration des systèmes multivariables
1.3 Classe de modèles considérés
1.3.1 Modèle nominal
1.3.2 Classe de modèles
1.4 Incertitudes
1.4.1 Incertitudes structurées
1.4.2 Incertitudes non structurées
1.5 Valeurs singulières
1.6 Conditions de robustesse
1.6.1 Condition de robustesse sur la stabilité
1.6.2 Condition de robustesse sur les performances
1.7 Conclusion
Chapitre 2 : Synthèse de contrôleurs robustes par H∞
2.1 Introduction
2.2 Formulation du problème standard
2.3 Problème d’optimisation par H∞
2.4 Sensibilité mixte
2.5 Procédure d’optimisation par H∞
2.6 Conclusion
Chapitre 3 : Commande robuste d’une machine asynchrone
3.1 Présentation du procédé de la machine asynchrone
3.2 Etude du procédé en boucle ouverte
3.3 Détermination des spécifications sur la robustesse
3.3.1 Spécification sur la stabilité Wt(s)
3.3.2 Spécification sur les performances Wp(s)
3.4 Synthèse H∞
3.4.1 Résultats fréquentiels
3.4.2 Résultats temporels
3.4.3 Régime perturbé
3.5 Conclusion
Chapitre 4 : Commande robuste d’un Aircraft
4.1 Présentation du procédé Aircraft
4.2 Etude du procédé en boucle ouverte
4.3 Détermination des spécifications sur la robustesse
4.3.1 Spécification sur la stabilité Wt(s)
4.3.2 Spécification sur les performances Wp(s)
4.4 Synthèse H∞
4.4.1 Résultats fréquentiels
4.4.2 Résultats temporels
4.4.3 Régime perturbé
4.5 Conclusion
Conclusions générales
Références bibliographiques
