Combinatoire des groupes linéaires finis

Dans ce chapitre, nous exposons la théorie des groupes de matrices GL(n, k), où k = F est un corps fini. Nous rappelons la combinatoire des classes de conjugaison de telles matrices (section 6.1), et nous présentons un résultat analogue à l’isomorphisme de Frobenius-Schur 1.5 (section 6.2), ce qui permettra de calculer les caractères des groupes GL(n, Fet différents de X. Enfin, dans la section 6.4, on rappelle les résultats de Dudko et Fulman (cf. [Dud08, Ful06]) concer- nant l’asymptotique de la mesure de Plancherel de GL(n, F) : les caractèresirréductibles, et les caractères de Deligne-Lusztig obtenus par induction parabolique à partir de caractères de tores. Ces derniers fourniront des mesures de probabilité sur des familles. Par conséquent, l’en- semble des polynômes irréductibles unitaires différents de X s’identifie à l’ensemble quotient M/G. Nous noterons Y (F) donnera une preuve indirecte de ce résultat, cf. le paragraphe suivant. Une autre preuve repose sur la théorie de Hall des modules sur un anneau de valuation discrète o, cf. [Mac95, chapitre 2, théorème 1.6]. En effet, si V) a le cardinal énoncé dans la proposition 6.3. Ceci peut être fait par induction sur la hauteur du module de torsion, c’est-à-dire la taille maximale d’une part de µ. En effet, si V est un o-module de torsion de hauteur h et de type µ, alors p.

Il s’agit maintenant de décrire les représentations irréductibles de GL(n, F) avec le même formalisme ; les représentations de Deligne-Lusztig joueront un rôle intermédiaire dans notre présentation. Dans le groupe multiplicatif M, on rappelle que σ est l’application de Frobenius x 7→ x ) l’ensemble des polypartitions duales de poids n. Ces objets apparaissent naturellement dans la théorie des représentations du groupe GL(n, Fest dit maximal si son rang r est égal à n, et il est dit scindé sur k s’il est déjà isomorphe à kà K. Dans G = GL(n, k), un tore est toujours scindé, et deux tores maximaux sont toujours conjugués sous l’action de G (cf. [Che04]). En revanche, deux tores F-stables S et T ne sont pas forcément conjugués dans G sous l’action de G. Si le tore T est contenu dans un sous-groupe de Borel B ⊂ G qui est F-stable, il suffit d’utiliser l’induction parabolique de Tmême lorsque T n’est pas inclus dans un sous groupe de Borel F- stable. Cette méthode est due à Deligne et Lusztig (voir [DL76]), et peut être utilisée dès que G est un groupe réductif de type Lie et T est un tore maximal F-stable. L’idée est de considérer une certaine variété X sur laquelle G.

Cette opération constitue l’induction de Deligne-Lusztig, et on retrouve l’induction parabo- lique d’Harish-Chandra lorsque T est contenu dans un sous-groupe de Borel F-stable. No- tons qu’on peut remplacer T par un sous-groupe de Lévi L rationnel, auquel cas l’induction de Deligne-Lusztig permet de passer outre l’absence éventuelle de sous-groupe parabolique F-stable contenant L. Ceci étant dit, les caractères de Deligne-Lusztig de GL(n, F) est due à J. A. Green, voir [Gre55] ; nous reprendrons les notations de [Mac95, chapitre 4]. Si φ est un polynôme irréductible sur Fde Deligne-Lusztig, et deux caractères irréductibles qui interviennent dans le même caractère de Deligne-Lusztig ont des valeurs identiques en les éléments unipotents, ces valeurs étant données par des polynômes de Green (cf. [Lus76]). Les matrices de transition entre la base des caractères irréductibles et la base de Deligne-Lusztig s’écrivent :(ρ) sont les valeurs des caractères des groupes symétriques. Ainsi, la combinatoire des représentations irréductibles et des représentations obtenues par induction de Deligne-Lusztig à partir de tores peut de nou- veau être traitée à partir de fonctions symétriques dans Λ(F: les caractère irréductibles correspondent à des produits de fonctions de Schur, et les caractères de Deligne-Lusztig correspondent à des produits de fonctions puissances.