Classification des tiges élastiques

Les expressions de la trajectoire infinie et des directeurs de Cosserat obtenues au chapitre 2 sont valables uniquement lorsque les équations différentielles (2.64) sont intégrables. Cela im- plique que les paramètres adimensionnés (; t [2; +1[.On propose ensuite deux méthodes de résolution. En sous-section 1.2, la démarche détaillée dans Ameline et al. (2017) est décrite succinctement. Elle consiste à étudier le signe du polynôme(u), et aboutit à la définition de la borne inférieure du domaine D sous la forme d’un tri numérique entre quatre expressions analytiques. En sous-section 1.3, une deuxième méthode est présentée, où la borne inférieure est obtenue par minimisation de l’Hamiltonien. Le résultat est cette fois-ci entièrement analytique. A notre connaissance, ce calcul du domaine de définition des paramètres de Landau n’avait encore jamais été effectué.en (2.45) et (2.46), en fonction de la force et du moment agissant sur les sections, montrent que ces paramètres varient sur tout R. De même, l’équation (2.47) montre que a ne peut pas être majoré. Toutefois, la condition jjtjj = 1 implique que a 2. Par conséquent, le domaine de définition D R = f0g. Les configurations de tiges correspondantes sont telles que u = cste = 0 et sont par conséquent rectilignes. On choisit d’exclure ce cas du domaine de définition. La sous-section 2.1 montrera que le domaine D ainsi obtenu contient bien toutes les tiges rectilignes.

Les deux conditions obtenues en (3.10) sont compatibles entre elles pour toute valeur de l’abscisse curviligne s : il suffit de choisir indépendant de s. Par conséquent, le minimum global de U est atteint pour une configuration d’équilibre dont l’angle est constant et minimise V (). Pour calculer ce minimum, on résoutL’objectif de cette section est de caractériser et classer toutes les trajectoires particulières de tiges élastiques, en vue d’en identifier certaines avec des structures connues d’acides nucléiques. Par ailleurs, ces trajectoires sont souvent localisées sur des singularités des expressions (2.73), (2.80) et (2.91). Par conséquent, il est nécessaire de les étudier pour appréhender les bifurcations du problème et proposer une implémentation robuste des équations. Avec les expressions de la trajectoire infinie et des directeurs de Cosserat obtenues au chapitre 2 et le domaine de définition déterminé en section 1 du présent chapitre, cette première étape de classification est désormais possible. Les trajectoires 1D (poutres rectilignes) et 2D (cercles et elastica d’Euler) sont analysées en sous-sections 2.1 et 2.2. On se concentre ensuite, en sous-sections 2.3 et 2.4, sur les hélices et les homoclines. La sous-section 2.5 est consacrée aux poutres fermées. Enfin, une synthèse est proposée en sous-section 2.6, où chaque trajectoire particulière est localisée dans l’espace des paramètres (; t).

Les tiges de trajectoire 1D (i.e. rectiligne) ne sont soumises à aucun moment de flexion. Elles sont uniquement sollicitées en traction (ou compression) et en torsion. De fait, elles sont dirigées parallèlement à l’axe (O; eLes tiges dont la trajectoire est une hélice sont particulièrement importantes pour la modé- lisation moléculaire. Ces configurations ont une courbure constante, donc d’après (2.87) elles vérifient u(s) = cste et d’après (2.76), u= 0, donc la trajectoire est rectiligne. Lorsque le numérateur s’annule, z = cste = 0 et d’après le paragraphe 2.2.1, la trajectoire est un cercle. La Figure 3.4 représente la variation du rayon et du pas en fonction de et tLes configurations de tiges sont dites fermées si la trajectoire r(s) et le repère de Darboux sont périodiques et ont la même période. D’après les développements de la sous-section 3.3 du chapitre 2, pour toute tige élastique et pour tout (s] sont congrues modulo 2 (voir 3.3.1 du chapitre 2), les équations (3.65a) et (3.65b) sont équivalentes. L’écriture des équations (3.63), (3.65b) et (3.65c) à partir des expressions (2.73) et (2.80) donne alors; a) par la surface enve- loppe définie par l’équation (3.66a). Cette approximation n’est pas aberrante car Q est dense dans R, donc on peut toujours trouver des rationnels q; a). La surface paramétrée ainsi définie est tracée sur la Figure 3.6. Toutes les tiges fermées exactes sont incluses dans cette surface, ce qui simplifie les résultats observés dans la littérature (Dichmann et al. 1996, Henderson et Neukirch 2004). On peut remarquer la symétrie par rapport à l’axe = t; a) des paramètres de Landau. Les droites, les cercles, l’elastica plane d’Euler, les hélices et les homoclines ont été localisées et classées, et leurs caractéristiques géométriques (rayon, pas) ont été exprimées. Ces résultats sont résumés dans le Tableau 3.1 et cartographiés sur la Figure 3.5. Les tiges fermées ont également été localisées sous la forme d’une surface paramétrée remarquablement simple, tracée sur la Figure 3.6.