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Systèmes de racines simples

Soit V ’ V¯ V¯ la représentation fondamentale d’une superalgèbre de Lie classique basique L ’ L¯ L¯ de la sec. 1.1.4. Le choix d’une base totalement ordonnée dans V ’ V¯ V¯ induit un ordre total dans la sous-algèbre de Cartan de gl(V) et, donc, dans l’espace de poids G de gl(V). Lorsque L est une sous-algèbre de gl(V) alors son espace de poids X est un quotient de G. Ceci est le cas de toutes les superalgèbres de Lie classiques basiques sauf pour la série psl(njn).
À ce stade, il faut mentionner que au lieu de traiter la série psl(njn) séparément du reste des superalgèbres de Lie classiques basiques, à cause de la façon très particulière (1.15) dont les poids de psl(njn) sont dé-finis à partir des poids ei, dj de gl(njn), il est plus pratique de com-prendre la théorie des représentations de la superalgèbre de Lie sl(njn) par les mêmes moyens que la théorie des représentations des superal-gèbres sl(mjn), n 6= m et osp(mj2n), et, ensuite, de construire les repré-sentations de psl(njn) par induction. La procédure d’induction est très simple, car si V est une représentation de sl(njn), alors elle consiste, es-sentiellement, à calculer la valeur propre e du générateur central id2n de sl(njn) sur V. Si e 6= 0 alors la représentation induite indpsl(njn) V = V/ id2n V sl(njn) est la représentation triviale et si e = 0 alors le noyau id2n V = eV de l’induction est zéro.
Reprenons notre discussion sur les espaces de poids G et X. L’ordre total dans G induit un ordre total dans X. La notion de positivité d’un poids de L est bien définie, c’est-à-dire, tout poids est soit positif soit négatif. Une base sur N du système de racines positives de L est appelée système de racines simples. Le choix du système de racines simples, dans le système de racines positives, n’est pas unique, contrairement à la situation analogue des algèbres de Lie semi-simples. Voyons plus en détail d’où provient cette différence de comportement.
On peut renverser la logique. Fixons une base D0 sur Z du système de racines complet D de L. Ce choix définit un ordre total sur X qu’on va noter <D0 . De plus, différents choix de base donnent des définitions dif-férentes pour l’ordre total et, donc, pour le système de racines positives. Soit s 2 GL(V) une transformation linéaire qui permute les vecteurs de base de V. Les transformations de similarité sLs 1 ne sont des automorphismes de L que si s préserve la gradation L ’ L¯ L¯ . Ceci est le cas si et seulement si s est homogène et, donc, permute des vecteurs de base pairs avec des vecteurs de base pairs et des vecteurs de base impairs avec des vecteurs de base impairs. D’un côté l’automorphisme s change la défi-nition de l’ordre total sur G et, par conséquent sur X aussi. De l’autre côté l’auto-morphisme s de L est représenté dans X par une réflexion de Weyl ws. Par définition, une transformation de Weyl change le signe d’une ra-cine et, donc, transforme nécessairement au moins une racine simple dans une racine négative. Par conséquence ws D0 est un système de racines simples qui définit un nouvel ordre total <ws D0 sur X. Au cas où l’image <W D0 est l’ensemble de tous les ordres totaux possibles, alors il devient clair, vu l’injectivité de l’application D0 !<D0 , que chaque ordre total < et, donc, système de racines positives, détermine un seul système de ra-cines simples D0<. Autrement dit, si l’action du groupe de Weyl W sur les vecteurs de base de V ’ V¯ V¯ est transitive alors un système de racines positives arbitraire détermine un seul système de racines simples. Comme, dans le cas général, W ne permute pas les vecteurs de base pairs avec les vecteurs de base impairs alors son action n’est pas transitive. Comme pour les algèbres de Lie simples on peut représenter la classe d’équivalence des systèmes de racines simples W D0 par des diagrammes de Dynkin [46]. Selon la discussion précédente, une superalgèbre de Lie classique basique aura nécessairement plusieurs diagrammes de Dynkin possibles.
Parmi les choix possibles de systèmes de racines simples D0 d’un sous-système de racines positives d’une super-algèbre de Lie classique basique L il existe toujours un choix préférentiel où D0 ne contient qu’une seule racine impaire. Ce système de racines simple est appelé système de racines simples distingué. En effet, on peut vérifier que ce choix est pour sl(mjn).

Modules de plus haut poids

Soit L ’ L¯ L¯ gl(V) une superalgèbre de Lie classique basique, où V ’ V¯ V¯ est l’espace de base de la représentation fondamentale. Le choix d’une base totalement ordonnée de V induit une décomposition des éléments de la superalgèbre de Lie L dans une partie diagonale h — la sous-algèbre de Cartan, une partie n+ nilpotente triangulaire au dessus de la diagonale et une partie n nilpotente triangulaire en dessous de la diagonale. Dans ces notations, les éléments de n+ ont un poids positif par rapport à h, tandis que n ont un poids négatif.
Par abus de langage, on va appeler la superalgèbre de Lie b = h + n+ une sous-algèbre de Borel. Notons que ce n’est pas la sous-algèbre résoluble maximale. Ceci peut être vu sur l’exemple de gl(1j1), qui est entièrement résoluble. De la même façon que dans la théorie des représentations des al-gèbres de Lie simples, les représentations irréductibles de la sous-algèbre de Borel b sont toutes de dimension un. Soit M ’ Cv une telle représen-tation, où v est le seul vecteur de base de la représentation unidimension-nelle. Alors l’action de la sous-algèbre de Cartan h sur M h v = l(h)v, h 2 h (1.21) définit une forme l 2 h qui est appelée le poids de M ou, plutôt, le plus haut poids de M à cause de l’action triviale de n+ n v = 0, n 2 n+. (1.22)
Si M est un module d’une superalgèbre de Lie L et v 2 M satisfait les eqs. (1.21, 1.22), alors v est appelé vecteur maximal de poids l.
Pour un b-module M(l) de plus haut poids l on peut définir par induction un module de la superalgèbre L Z(l) = U(L) b M(l), (1.23) appelé module de plus haut poids l.
Les modules Z(l) sont infinis et n’admettent des quotients finis que pour des valeurs particulières du plus haut poids l. Une propriété très générale des superalgèbres de Lie est que tout module indécomposable a un sous-module maximal unique. Le quotient du module de plus haut poids Z(l) par le sous-module maximal est, donc, une représentation ir-réductible S(l) avec plus haut poids l. L’étude des sous-modules de plus haut poids de Z(l) revient à l’identification des vecteurs maximaux, où un vecteur maximal est, par définition, un élément de Z(l) sur lequel n+ agit de façon triviale, c’est-à-dire comme dans l’éq. (1.22). Avant de passer à l’analyse de sous-modules des modules de plus haut poids des superalgèbres de Lie classiques basiques, il est particulièrement utile de se rappeler les faits suivants sur la théorie des représentations des algèbres de Lie simples.
Soit Z(L) le centre de l’algèbre de Lie enveloppante U(L) d’une al-gèbre de Lie simple L et soit Z(l) un module de plus haut poids de L. L’action de Z(L) sur Z(l)  v = cl(z)v (1.24) définit une application cl : Z(L) ! C appelée le caractère de Z(l). Le caractère cl n’est pas uniquement déterminé par le poids l. En effet, si Z(l) contient un vecteur maximal vm de poids m, alors il engendre un sous-module Z(m) et, par la déf. (1.24), z vm = cm(z)vm.
En même temps, selon la même déf. (1.24) z vm = cl(z)vm, vm 2 Z(l) ce qui nous amène a conclure que Z(m) Z(l) ) cl = cm. (1.25)
La caractérisation de la classe d’équivalence des poids qui définissent un seul caractère est connue sous le nom du théorème de Harish-Chandra [36]. Si deux poids l et m définissent un seul caractère cl = cm, alors on va dire que les poids l et m sont équivalents et on va noter cette relation d’équivalence par l ’ m.
Théorème de Harish-Chandra Soit cl le caractère défini par le poids l, cm le caractère défini par le poids m et r le vecteur de Weyl. Alors cl = cm, c’est-à-dire l ’ m, si et seulement si l + r et m + r se trouvent dans la même orbite du groupe de Weyl W .
Ensuite, il est possible de montrer, par construction explicite d’un vec-teur maximal, que si l + r et m + r se trouvent dans la même orbite de W et m < l alors Z(m) Z(l). Cela donne l’implication inverse à (1.25) et, donc, on peut résumer les derniers résultats sous la forme Z(m) Z(l) , m ’ l , W (m + r) = W (l + r) (1.26)
Les classes d’équivalence des poids, par rapport à la relation d’équivalence ’, s’appellent des blocs.
Le bloc est une notion très générale qui apparaît dans l’étude des repré-sentations indécomposables de tous les types d’algèbres non-semi simples (dans notre cas cette algèbre est U(L)). Elle est définie, dans le cas géné-ral, comme la classe d’équivalence des représentations irréductibles qui sont connectées, par paires, par des représentations indécomposables au sens suivant. Deux représentations irréductibles S et S0 se trouvent dans le même bloc si et seulement si il existe une série de représentations indé-composables I0, I1, . . . , In telle que S I=˘,I i I =˘, S0 I = ˘ \ 0 6 1 \ i 6 \ n 6 pour i = 1, . . . , n.
Pour établir l’équivalence de cette définition généralisée avec la défi-nition précédente il suffit d’ordonner les poids d’une orbite du groupe de Weyl dans une série croissante l0 < l1 < . . . et pour chaque paire li < lj de prendre en tant que modules indécomposables Ii les modules de plus haut poids Z(li), Z(li+1), . . . , Z(lj).
La notion de bloc n’est pas fréquemment rencontrée dans le cadre de la théorie de représentations finies des algèbres de Lie simples à cause des faits suivants. Comme on a vu de l’éq. (1.26), les poids m de tous les vecteurs maximaux d’un module Z(l) de plus haut poids l peuvent être obtenus par l’action modifié du groupe de Weyl w l = w (l + r) r.
Le point crucial à remarquer est que dans chaque orbite de l’action mo-difiée du groupe de Weyl il existe juste un seul poids dominant. Cette affirmation est connue aussi sous une autre forme — l’action modifiée du groupe de Weyl permute les chambres de Weyl. Cela veut dire que si on est intéressé par les représentations de dimension finie des algèbres de Lie simples, dont les plus hauts poids sont des poids dominants, alors chaque bloc ne contient qu’une seule représentation irréductible, ce qui est en ac-cord avec le résultat général du théorème de Weyl 1.1.2. Comme on va voir dans la suite, pour les superalgèbres de Lie le théorème de Harish-Chandra n’est plus vrai. La possibilité qu’un bloc contienne plus qu’un poids dominant reste, donc, ouverte. Après ce rappel sur la théorie des représentations de plus haut poids des algèbres de Lie simples on revient au traitement des représentations des superalgèbres de Lie classiques ba-siques.
Pour les superalgèbres de Lie la situation est beaucoup plus compli-quée. Tout d’abord, à partir du théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt 1, de la sec. 1.1.5, la restriction d’un module de plus haut poids Z(l) à L¯ admet un quotient de dimension finie si et seulement si l est dominant par rapport au système de racines simples de L¯ induit par l’ordre total du système de racines simples de L. Pour sl(mjn) cela veut dire que les labels de Dynkin de l, par rapport aux racines simples paires du système (1.18) de racines simples distinguées, sont des entiers, car le système induit des racines simples de L¯ est un sous-ensemble du dernier. Dans le cas de osp(mj2n), le système de racines simples de L¯ induit du système (1.19, 0 1.20) distingué de racines simples de L contient une racine supplémentaire 2dn. Pour que Z(l) ait un quotient fini il faut que les labels de Dynkin de l soient des entiers par rapport aux racines simples paires du système de racines simples distinguées et par rapport à 2dn aussi.
Après avoir identifié les modules de plus haut poids Z(l) qui ad-mettent un quotient fini on se demande naturellement combien de quo-tients finis possibles il y a. Comme on va voir dans la sec. 1.1.9, il est en effet possible que le quotient fini ne soit pas uniquement déterminé. Il devient alors utile de distinguer entre deux types de poids. Un poids dominant d’une superalgèbre de Lie classique basique est appelé typique s’il est le seul poids dominant dans son bloc. Un poids dominant d’une superalgèbre de Lie classique basique est appelé atypique s’il n’est pas le seul poids dominant dans son bloc. L’identification des blocs des superal-gèbres de Lie classiques basiques est le sujet de la section suivante. Cette section est utile pour évaluer correctement le degré de complexité que les représentations indécomposables peuvent atteindre.

Blocs des superalgèbres de Lie

On a introduit la définition de bloc d’une algèbre de Lie simple dans la sec. 1.1.8. Là on a parlé aussi de cette notion dans le cadre de la théorie des représentations des algèbres non-semi-simples génériques. De cette définition générale, deux poids m et l se trouvent dans le même bloc si et seulement si les caractères des représentations de plus haut poids Z(l) et Z(m) coïncident cl = cm. Cette condition établit une relation d’équiva-lence notée par l ’ m.
De la même façon que pour les algèbres de Lie on démontre que si l et m se trouvent dans la même orbite de l’action modifiée (1.17) du groupe de Weyl W, alors l ’ m. Il se trouve que l’équivalence des poids l ’ m est possible en dehors des orbites de W. Dans [47] Kac a montré que si hl + r, ai = 0 (1.27) pour une racine impaire a de norme nulle ha, ai = 0 alors cl = cl+Ca.
L’idée est la suivante. Soit vl le vecteur de plus haut poids du module de plus haut poids Z(l), b la seule racine impaire du système distingué de racines simples et F b les générateurs de plus haut poids b par rapport à la sous-algèbre de Cartan h. Alors la condition que le descendant au niveau un vl b = F bvl soit un vecteur maximal revient à demander que Fbvl b µ Hbvl = hl, bivl = 0, ou hl, bi = hl + r, ai = 0.
Ensuite on utilise l’invariance des caractères cm sur les orbites de Weyl et la transitivité de l’action du groupe de Weyl sur le sous-système de racines impaires pour arriver à la condition (1.27). La condition (1.27) est aussi appelée condition d’atypie pour le poids l.
Les blocs des superalgèbres de Lie ont, donc, la structure suivante [54, 72]. Soit a1, . . . , a k l’ensemble maximal de racines paires de norme nulle li-néairement indépendantes qui satisfont la conditions d’atypie (1.27), alors cl = cl+Ca1+…Cak et le bloc de l est de la forme [l] = W (l + Ca1 + . . . Cak).
L’entier k est appelé le degré d’atypie du bloc du poids l. Notons que si k > 0 alors le bloc [l] contient une infinité de poids dominants. On voit, donc, qu’un poids dominant est typique, c’est-à-dire est le seul poids dominant dans son bloc, si et seulement si il ne satisfait aucune condition d’atypie, ou si le degré d’atypie du bloc est k = 0.
Au final, il est utile de retenir un critère nécessaire pratique pour dé-terminer si deux poids se trouvent dans le même bloc — leur Casimir doit être le même.
On a vu dans la sec. 1.1.9 que les poids dominants se divisent en deux classes — typiques et atypiques. Comme les poids typiques sont les seuls dans leur bloc, le module de plus haut poids Z(l) admet un quotient irréductible fini unique S(l). Ils sont les analogues des représentations ir-réductibles des algèbres de Lie simples : i) le théorème de Harish-Chandra de la sec. 1.1.8 reste vrai pour les poids typiques ; ii) on peut calculer les caractères des représentations irréductibles correspondant aux poids ty-piques par une formule du même type que la formule de Weyl cl = trS(l) eH = å w2W ( 1)l(w)e w (l+r) (H) , 1)l(w)e(w r)(H) åw2W ( où l(w) est le nombre de réflexions élémentaires par lesquelles un élé-ment w du groupe de Weyl W peut être exprimé. 2 Ici, par réflexions élémentaires on comprend les réflexions qui correspondent aux racines du sous-système de racines simples paires induit par le système distingué de racines simples.
Le fait qu’on sache d’avance qu’un poids l est typique permet de construire explicitement le quotient fini unique irréductible S(l) du mo-dule de plus haut poids Z( ). En effet, soit ¯ le plus haut poids de Z( ) par rapport au sous-système de racines simples paires induit par le système distingué de racines simples. Notons par S0(l) la représentation irréductible de la sous-algèbre paire L¯ de plus haut poids l. On peut la promouvoir de façon triviale à une représentation de L¯ sentation induite 1 S(l) = indL¯ +n+ S0(l) 2 Seulement le nombre minimal de réflexions élémentaires par lesquelles un élément arbitraire w 2 W peut être exprimé est bien défini. Ce nombre s’appelle la longueur de w. Malgré cela, la parité ( 1)l(w) est définie de façon non-ambiguë pour toute décomposition possible de w en produit de réflexions élémentaires. est alors finie, selon le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt de la sec. 1.1.5, et, donc, irréductible car elle est un quotient de Z(l).
Les représentations irréductibles avec poids atypiques peuvent consti-tuer des indécomposables. On est confronté au problème de classification des structures de représentations indécomposables possibles. Selon la dis-cussion de la sec. 1.1.9, ce problème se résout, effectivement, par blocs. Il est, ainsi, utile de parler de la théorie des représentations d’un bloc. Le degré de complexité varie considérablement d’un bloc à l’autre selon le degré d’atypie du bloc. Germoni a montré en [26] que si le degré d’atypie du bloc est k 2 alors ses représentations indécomposables ne peuvent pas être classifiées, c’est-à-dire identifiées par un nombre fini de para-mètres, car la théorie des représentations du bloc est de type dit sauvage. Ce comportement est fortement décourageant à la première vue.
Néanmoins, l’expérience déjà acquise montre que dans les applica-tions physiques on n’a pas nécessairement besoin de savoir classifier et construire toutes les représentations indécomposables possibles. Dans l’étude des chaînes quantiques du ch. 3 on est intéressé par les représen-tations indécomposables qui sont engendrées par les puissances tenso-rielles V L de la représentation fondamentale V de osp(mj2n). Pour toute chaîne de longueur finie, les représentations engendrées peuvent être, évi-demment, classifiées, c’est-à-dire identifiées à l’isomorphisme près par un nombre fini de paramètres. Il n’est pas du tout évident que ceci reste vrai dans la limite de longueur infinie. On va voir dans le ch. 3 que ceci est le cas pour la chaîne V L de osp(4j2).
Un autre exemple vient des modèles sigma sur les superespaces sy-métriques M ’ G/H. Les représentations relevantes sont celles qui ap-paraissent dans la décomposition de l’espace fonctionnel L2(M). Pour les modèles sigma sur les espaces symétriques, le choix de l’espace L2(M) est partiellement justifié par l’unitarité de l’action quasi-régulière du groupe de Lie G. Tout de même, l’argument ultime est la nécessité de l’existence de la fonction à deux points pour tous les opérateurs du modèle sigma. Plus spécifiquement, l’action des modèles sigma s’annule pour des confi-gurations constantes des champs 2.2.1. Cela veut dire que les modes zéro se factorisent dans la mesure de l’intégrale fonctionnelle. Pour que les opé-rateurs de la théorie de dimension classique zéro aient une fonction à deux points bien définie à l’ordre zéro dans la théorie des perturbations il est né-cessaire qu’ils soient de carré intégrable sur des configurations constantes des champs, même si l’espace cible est non-compact. Les fonctions de l’es-pace L2(M) ne forment pas une algèbre, c’est-à-dire L2(M) n’est pas clos par rapport à la multiplication des fonctions. On aurait, donc, envie de dire que la classe de représentations pertinentes pour les modèles sigma n’est pas close par rapport au produit tensoriel. Ceci serait, pourtant, une conclusion précipitée. Pour comprendre ce désaccord apparent, considérons pour l’instant l’espace symétrique principal chiral compact qui correspond à un groupe de Lie G. Soit R(G) l’espace des fonctions composé des combinaisons linéaires finies des éléments de matrice des représentations unitaires fi-nies de G. Cet espace possède une structure d’algèbre par rapport à la multiplication de fonctions. En effet, le produit des éléments de base de R(G) s’interprète comme le produit tensoriel de deux représentations irréductibles et, donc, peut être décomposé dans une somme fi-nie des éléments de R(G). En fait, l’algèbre des fonctions R(G) pos-sède une structure plus riche d’algèbre de Hopf, dont la comultiplication

Table des matières

1 Notions mathématiques 
1.1 Superalgèbres de Lie
1.1.1 Rappel sur les algèbres de Lie
1.1.2 Théorème de Weyl
1.1.3 Superalgèbres de Lie
1.1.4 Superalgèbres de Lie classiques basiques
1.1.5 Superalgèbre enveloppante
1.1.6 Systèmes de racines
1.1.7 Systèmes de racines simples
1.1.8 Modules de plus haut poids
1.1.9 Blocs des superalgèbres de Lie
1.1.10 Classes de modules indécomposables relevantes pour les application physiques
1.1.11 Modules projectifs, injectifs, standards, co-standards et basculants
1.2 Supergroupes de Lie
1.2.1 Supergroupes de matrices
1.2.2 Homotopie des supergroupes de Lie
2 Modèles sigma conformes 
2.1 Problématique de la supersymétrie globale
2.1.1 Unitarité
2.1.2 Théorie conforme des champs logarithmique
2.2 Modèles sigma génériques
2.2.1 Présentation des modèles sigma
2.2.2 Effets quantiques
2.2.3 Déformations conformes quantiques des modèles sigma
2.3 Modèles sigma avec ligne critique
2.3.1 Modèles sigma quantiques conformes
2.3.2 Stratégies possibles
Conclusion
3 Chaînes quantiques avec symétrie OSp(2S+2|2S) 
3.1 Géométrie de la supersphère
3.2 Propriétés du modèle discret
3.2.1 Emboîtement des spectres
3.2.2 Champs chiraux
3.3 Modèle discret
3.3.1 Algèbre de Brauer
3.3.2 Gaz de boucles sur le réseau diagonal
3.3.3 Chaîne ouverte
3.4 Symétries de la chaîne ouverte OSp(4|2)
3.5 Conséquences sur la théorie conforme avec bord
Conclusion
4 Chaînes quantiques avec symétrie GL(N|N) 
4.1 Modèles sigma sur les superespaces projectifs
4.2 Modèle discret
4.2.1 Algèbre de Brauer avec paroi
4.2.2 Modèle de boucles et chaînes quantiques
4.2.3 Les fermions symplectiques
4.3 Exposants du modèle de boucles
Conclusion
Conclusion générale 
A Annexes
Bibliographie

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