Champ magnétique lunaire

Si la Lune ne génère plus de champ magnétique actuellement, les roches en surface portent la trace d’un champ magnétique passé. Depuis sa découverte il y a plus de quarante ans, son origine reste inexpliquée. Les signaux mesurés semblent nécessiter une source interne, temporaire et auto-entretenue de champ magnétique i.e. un mécanisme dynamo. Cependant, le flux de chaleur à travers le noyau liquide lunaire n’a jamais été suffisant pour alimenter une dynamo de type convectif. Nous proposons ici un modèle alternatif basé sur un forçage mécanique. A l’époque du grand bombardement tardif (ou LHB pour Late Heavy Bombardment), les impacts météoritiques, violents et fréquents, pourraient avoir temporairement désynchronisé la Lune, excitant dans son noyau liquide une instabilité elliptique générant une dynamo. Dans cette section, nous combinons nos résultats pour montrer qu’un tel mécanisme est capable de générer des champs magnétiques en surface de quelques µT sur quelques dizaines de milliers d’années, en accord avec les mesures paléomagnétiques. Ce travail inter-disciplinaire résulte d’une collaboration : M. A. Wieczorek a contribué à l’analyse des anomalies magnétiques des cratères d’impact et des vitesses de rotation lunaires après impact, Ö. Karatekin a contribué à l’étude de l’évolution temporelle de la rotation lunaire après impact, et M. Laneuville a mené l’analyse de l’évolution temporelle des couches de roches d’impact fondues. L’analyse hydrodynamique du scénario, menée par M. Le Bars et moi-même, est présentée ci-dessous après avoir introduit le contexte et les différents scénarios possibles.

Problématique

Il est usuellement admis que maintenir un champ magnétique au sein d’un corps céleste implique l’existence d’une couche fluide conductrice en convection. Cependant, le modèle de dynamo par convection thermo-solutale, communément accepté pour expliquer le champ magnétique terrestre, présente des difficultés pour certaines planètes. C’est par exemple le cas de la Lune. Des mesures de champ magnétique montrent que des portions de croûte lunaire sont fortement magnétisées, et les analyses paléomagnétiques de roches lunaires indiquent que certaines possèdent une magnétisation rémanente stable (Fuller & Cisowski, 1987). Après une quarantaine d’années d’analyse, l’origine du champ magnétique ayant magnétisé la croûte lunaire est encore controversée (Wieczorek et al., 2006b; Garrick-Bethell et al., 2009). Une hypothèse propose que la convection thermique du noyau lunaire ait généré une dynamo, mais cette théorie présente des difficultés du fait de la petit taille du noyau lunaire et des amplitudes de champ magnétique ainsi générées en surface. Stegman et al. (2003) et Takahashi & Tsunakawa (2009) ont proposé un modèle basé sur une augmentation temporaire de la vigueur de la convection dans le noyau par déstabilisation d’une couche isolante du manteau. Cependant, ce scénario nécessite une valeur particulière du contraste de densité, difficile à obtenir selon les modèles standards de différenciation planétaire (Breuer & Moore, 2007). Une autre hypothèse suggère que des impacts pourraient avoir généré ou amplifié des champs pré-existants, notamment aux antipodes des plus grands cratères d’impacts (Hood & Artemieva, 2008). Deux observations nous ont amenés à proposer un modèle dynamo différent pour générer des champs magnétiques de longue durée, où l’énergie magnétique provient directement de la rotation de la Lune plutôt que d’effets thermiques. Premièrement, six cratères d’impacts datant de l’époque du Nectarien 2 (voir figure 4.1) présentent des anomalies magnétiques centrales (Halekas et al., 2003). Ce sont très probablement les couches d’impact en fusion qui ont acquis cette magnétisation thermo-rémanente tandis qu’elles se refroidissaient en-dessous de la température de Curie. Un tel processus se déroule sur des échelles de temps relativement longues et nécessite donc un champ magnétique stable, présent sur des dizaines de milliers d’années après l’impact. Deuxièmement, chacun de ces six cratères d’impact indique que la rotation lunaire a dû être fortement perturbée. Ces évènements pourraient avoir soit désynchronisé la Lune en lui imprégnant une vitesse de rotation, soit induit des librations de forte amplitude qui pourraient avoir duré quelques dizaines de milliers d’années (Wieczorek & Le Feuvre, 2009). Une quantité d’énergie gigantesque est stockée dans les mouvements de rotation propre et de révolution orbitale de la Lune. La question est de savoir si cette énergie peut être efficacement transmise dans l’écoulement du noyau liquide, question qui fait débat depuis les années 60 (e.g. Fearn, 1998). Malkus (1963, 1968) a proposé que des instabilités inertielles pourraient être ce moyen de conversion. Bien que la proposition de Malkus fut tout d’abord rejetée sur des arguments considérant des mouvements laminaires (Rochester et al., 1975; Loper, 1975), il a été prouvé depuis, analytiquement et numériquement que les instabilités inertielles impliquent en effet de grandes quantités d’énergie (Kerswell (1996); Le Bars et al. (2010) ; voir aussi section 2.3.6) et sont dynamogènes (Tilgner, 2005, 2007a; Wu & Roberts, 2009). 

Dynamo et instabilité elliptique

Il n’a pas encore été explicitement prouvé que l’écoulement associé à l’instabilité elliptique était capable de générer une dynamo. En effet, la non-axisymétrie nécessaire de la géométrie pose une réelle difficulté pour les études numériques : la plupart des codes utilisent en effet une décomposition en harmoniques sphériques pour accélérer le calcul. Cependant, l’instabilité elliptique est une instabilité inertielle, de même que l’instabilité de précession qui est capable de générer une dynamo (Tilgner, 2005, 2007a; Wu & Roberts, 2009; Nore et al., 2011). L’instabilité de précession diffère de l’instabilité elliptique uniquement par le fait que les nombres d’onde azimutaux des deux ondes inertielles en résonance diffèrent de 1 au lieu de 2. De plus, notons que le mode spin-over de l’instabilité elliptique est le même écoulement que le mode de Poincaré forcé par la précession (voir section 2.5). Étant donné la forte similarité entre les instabilités elliptique et de précession, nous supposons que l’instabilité elliptique est également dynamogène. La topologie du champ magnétique externe d’une dynamo générée par précession n’a pas été étudiée de façon très détaillée, mais il apparaît que la composante dipolaire et les composantes multi-polaires de bas degré jouent un rôle important (Tilgner, 2005, 2007a). Le processus dynamo apparaît dès lors que le nombre de Reynolds magnétique Rm = uR/νm est assez grand, où νm est la diffusivité magnétique (ici prise égale à 1 m2 .s −1 , comme dans le noyau terrestre), u la vitesse typique de l’écoulement généré par l’instabilité (i.e. u ≈ △ΩR pour l’instabilité elliptique) et R le rayon typique de la couche fluide considérée. Les simulations de dynamo générée par précession donnent un seuil entre 770, obtenu pour un écoulement laminaire, et 200 − 300 pour un écoulement complètement turbulent (Tilgner, 2005, 2007a; Wu & Roberts, 2009). Le Reynolds magnétique critique pour obtenir une dynamo générée par instabilité elliptique est fixé ici à 1000. Cependant, notons que les résultats obtenus (section 4.1.3) sont en fait relativement indépendants de cette valeur : la génération dynamo dans notre modèle dépend principalement de l’existence d’une instabilité elliptique avec un taux de croissance suffisamment grand. L’amplitude du champ magnétique B généré par une dynamo d’instabilité elliptique peut être estimée en adaptant les lois d’échelle des dynamos de convection au cas considéré ici i.e. un forçage mécanique. L’amplitude du champ magnétique créé dans le noyau est contrôlée par la puissance mécanique disponible plutôt que par un équilibre de forces (Christensen & Aubert, 2006; Christensen et al., 2009; Christensen, 2010). Pour les instabilités elliptiques considérées ici, les effets thermiques ne modifient pas l’amplitude des écoulements générés (section 2.6 ; Lavorel & Le Bars (2010)). Le noyau est donc modélisé comme un fluide incompressible, conducteur électrique, tout effet thermique ou de stratification étant négligé. Puisque les dynamos de précession (et donc d’instabilité elliptique par hypothèse) ne dépendent pas d’une convection thermique, la puissance mécanique dissipée par l’instabilité est supposée complètement disponible pour la génération d’un champ magnétique. La puissance mécanique dissipée pour un écoulement laminaire peut être estimée (Le Bars et al. (2010) ; voir aussi section 2.3.6) par : PL ≈ 8 3 πR3 η| △ Ω| 2 R δ (4.1) où δ ≈ R √ E est l’épaisseur de la couche d’Ekman (e.g. Greenspan, 1968), η = ρν est la viscosité dynamique du noyau et ρ sa densité. Cette dissipation visqueuse résulte des différences de vitesse entre le noyau fluide et le manteau solide au niveau de la couche d’Ekman laminaire localisée à la paroi noyau-manteau. Ainsi, (4.1) donne une borne inférieure de la puissance mécanique dissipée, négligeant la turbulence de volume qui apparaît généralement pour l’instabilité elliptique aux faibles nombres d’Ekman, limite pertinente pour les applications planétaires (Le Bars et al., 2010). Cependant, cette dissipation volumique est en E, alors que la dissipation surfacique est en E1/2 : l’équation (4.1) doit donc donner l’ordre de grandeur correct. La dissipation de l’énergie associée aux modes de l’instabilité elliptique plus complexes que le mode de spin-over sera également principalement due à la dissipation visqueuse de leur énergie cinétique à travers la couche d’Ekman. Cela implique que l’échelle de puissance dissipée donnée par l’équation (4.1) ne devrait pas dépendre du mode sélectionné. Ainsi, avec un préfacteur fp, a priori supérieur à 1, la puissance dissipée est donnée par l’équation (4.1). La même équation que (4.1), à un facteur 2 près, fut obtenu par Williams et al. (2001) en considérant la faible précession de l’axe de rotation lunaire (voir leurs équations (81a) et (54)). Ce n’est pas surprenant étant donné la similarité entre le mode de spinover de l’instabilité elliptique et le mode de Poincaré excité par précession (section 2.5). Cependant, notons que les instabilités elliptiques génèrent des mouvements d’amplitude beaucoup plus grande que les petits mouvements forcés par précession considérés par 150 

Applications astrophysiques

Champ magnétique lunaire

Williams et al. (2001), où △Ω = Ωspin sin I, I étant l’angle de précession (supposé petit) entre l’équateur et le plan écliptique. L’instabilité elliptique est capable de générer des écoulements d’amplitude △Ω, de l’ordre de Ωspin, donc de dissiper beaucoup plus d’énergie, disponible pour la dynamo. Même dans la limite des écoulements de petite amplitude, Yoder & Hutchison (1981) remarquent qu’une autre échelle pour le frottement visqueux à la paroi noyau-manteau lunaire doit être considérée si la couche visqueuse devient turbulente : dans ce cas, le taux de dissipation dépend d’une viscosité turbulente au lieu de la viscosité moléculaire.

Application à la Lune

Les valeurs des paramètres utilisés dans notre modèle sont rassemblées dans la table 4.1.2. Un noyau liquide d’un rayon moyen de 350 km est supposé, en accord avec les caractéristiques du noyau lunaire actuel, déterminées par des analyses sismiques récentes (Weber et al., 2011) et d’autres données géophysiques (e.g. Wieczorek et al., 2006b). Pour le rapport k2/Q, où k2 est le nombre de Love d’ordre 2 du potentiel et Q le facteur de qualité des marées (tidal quality factor), deux cas limites sont considérés : une limite basse avec la valeur actuelle de k2/Q = 6.3 · 10−4 (Williams et al., 2010), et une limite haute donnée par la mesure k2/Q = 0.015 pour la lune galiléenne Io (Lainey et al., 2009), valeur typique probablement représentative de la Lune durant son évolution primitive. L’amplitude moyenne en temps de l’ellipticité de la frontière noyau-manteau (ou CMB pour Core-Mantle Boundary) est déterminée avec un simple modèle hydrostatique à 3 couches de la Lune en orbite circulaire autour de la Terre. Bien que la lithosphère lunaire ne soit certainement pas en équilibre hydrostatique (e.g. Garrick-Bethell et al., 2006), il est communément admis que le manteau inférieur amortit énormément les ondes sismiques et est en grande partie responsable de la valeur extrêmement importante de la dissipation en volume Q−1 (voir la discussion de Wieczorek et al., 2006a). Il est donc raisonnable de considérer une frontière noyau-manteau conforme à la forme d’équilibre sur des temps géologiques, même si la lithosphère est hors-équilibre. Nos estimations des périodes de rotation et des ellipticités hydrostatiques équatoriales de la frontière (en supposant une rotation synchrone) sont données en figure 4.2 en fonction de la distance Terre-Lune. Bien que l’ellipticité ait pu atteindre 0.3 lorsque la Lune était au voisinage du lobe de Roche, la plupart des modèles d’évolution prédisent une évolution rapide de la Lune vers une distance de 25 à 35 rayons terrestres en moins de 100 millions d’années (Webb, 1982; Ross & Schubert, 1989; Williams, 2000, 2004). Considérant donc une évolution  entre 25 rayons terrestres et 55 rayons terrestres (la distance Terre-Lune actuelle étant de 60 rayons terrestres), l’ellipticité de la CMB donnée par la théorie hydrostatique est comprise entre 2.5 · 10−5 et 2.6 · 10−4 , pour des distances Terre-Lune respectives de 25 et 55 rayons terrestres. Supposant la Lune synchronisée, le nombre d’Ekman varie entre 2.7·10−12 aujourd’hui et 8.3·10−13. Le rapport β/E1/2 est donc toujours supérieur à ∼ 15, et par conséquent le noyau liquide lunaire pourrait potentiellement avoir développé une instabilité elliptique au cours de son évolution. Cependant, une telle instabilité nécessite une rotation différentielle instantanée non-nulle entre le fluide du noyau et la déformation de la frontière noyau-manteau, au moins temporairement. Deux scénarios sont alors envisageables : 1. Une désynchronisation complète de la Lune après un impact suffisamment violent : l’instabilité elliptique éventuellement excitée est alors appelée TDEI pour Tides Driven Elliptical Instability 2. Une libration longitudinale de forte amplitude après un impact : l’instabilité elliptique éventuellement excitée est alors appelée LDEI pour Libration Driven Elliptical Instability Comme nous le verrons, si la Lune est initialement désynchonisée, elle passera également par une phase de librations longitudinales de grande amplitude au cours de son retour vers l’état synchronisé. Ces deux scénarios peuvent donc prendre place successivement après un impact donné. Étant donné les temps très courts de resynchronisation (voir sections suivantes), nous supposons que la forme hydrostatique de la CMB avant impact est maintenue durant ces deux scénarios. Les résultats obtenus pour ces deux scénarios sont regroupés en table 4.1.3 et détaillés ci-dessous. Étant donné que la litosphère lunaire est actuellement loin de l’équilibre hydrostatique, nous considérons également le cas où la frontière noyau-manteau est en équilibre hydrostatique avec une lithosphère nonhydrostatique. De même que Meyer & Wisdom (2010), nous supposons que le champ de gravité lunaire actuel de degré 4 2 résulte principalement de la topographie de surface, figée dans la lithosphère de la Lune primitive. Avec le potentiel gravitationnel associé, ainsi que les potentiels associés à la rotation et aux marées, la forme d’équilibre hydrostatique de la frontière noyau-manteau est calculée. La prise en compte de ce potentiel gravitationnel non-hydrostatique mène à des ellipticités de la frontière noyau-manteau qui sont de 1.3 à 2.4 fois supérieures à celles d’une Lune purement hydrostatique, pour des distances Terre-Lune égales à respectivement 35 et 45 rayons terrestres. L’écart à l’équilibre hydrostatique de la Lune pourrait avoir été encore plus grand dans le passé du fait de la relaxation visqueuse des contraintes : nous considérons donc aussi comme cas limite des ellipticités 10 fois supérieures à l’ellipticité hydrostatique. Bien que les ellipticités retenues ne modifient pas l’amplitude du champ magnétique éventuellement généré, ces valeurs influencent les taux de croissance de l’instabilité elliptique et l’espace de paramètres où elle peut se développer.

Stabilité des astres telluriques

Cette section présente un travail soumis à la revue Astronomy & Astrophysics. Rédigé en anglais, il fait le lien entre les études hydrodynamiques et MHD de l’instabilité elliptique, présentées en chapitres 2 et 3, et son existence dans un contexte planétaire. Ce travail a été mené en collaboration avec C. Moutou, du Laboratoire d’Astrophysique de Marseille. In this section, the presence of such an elliptical instability driven by tides and librations is investigated in terrestrial bodies in order to confirm its relevance in an astrophysical context. Its consequences on energy dissipation, on magnetic field induction and on heat flux fluctuations at the planetary scale are considered. Previous studies and theoretical results regarding the elliptical instability are re-evaluated and extended to cope with an astrophysical context. In particular, generic analytical expressions of the elliptical instability growth rate are obtained using a local WKB approach, taking into account (i) a 165 4.2 Stabilité des astres telluriques Chapitre 4. Applications astrophysiques local temperature gradient due to an imposed temperature contrast across the considered layer or to the presence of a volumic heat source, and (ii) an imposed magnetic field along the rotation axis, coming from an independent dynamo mechanism or from an external source. The theoretical results are applied to the telluric planets and moons of the solar system as well as to three Super-Earths : 55 CnC e, CoRoT-7b and GJ 1214b. 4.2.1 Introduction The flows in fluid layers of planets and moons are of primary interest as they imply first order consequences relative to their internal dynamics and orbital evolutions. Indeed, internal flows create torques on solid layers and induce energy dissipation, which remain negligible for stable laminar flows, but become significant for turbulent ones. Moreover, internal flows are directly responsible for magnetic field generation, either by induction of an existing background magnetic field or by excitation of a self-sustained dynamo. Finally, planetary heat fluxes are also directly linked to flows in fluid layers, which can act as thermal blankets for stably stratified configurations, or as efficient heat flux conveyers in the case of convective flows. Planetary fluid layers are subject to body rotation, which implies that inertial waves can propagate through them (e.g. Greenspan, 1968). Usually damped by viscosity, these waves can however be excited by libration, precession and tides, which are harmonic mechanical forcings of azimuthal periodicity m = 0, 1 and 2 respectively. The fluid response to such forcings in ellipsoids is a long standing issue : see e.g. Aldridge & Toomre (1969); Noir et al. (2009); Calkins et al. (2010); Sauret et al. (2010) for librations ; Poincaré (1910); Busse (1968); Cébron et al. (2010b) for precession ; Ogilvie & Lin (2004, 2007); Tilgner (2007b); Rieutord & Valdettaro (2010); Morize et al. (2010) for tides. In these studies, it has been shown that the dynamics of a fluid layer is completely modified when the forcing is in direct resonance with an inertial wave. In addition to these direct forcings, inertial waves can also form triadic resonances, leading to parametric inertial instabilities. For instance, the so-called shear instability can be excited by precession (Kerswell, 1993b; Lorenzani & Tilgner, 2001, 2003), and the elliptical instability can be excited by tides (Malkus, 1989; Rieutord, 2000) and librations (Kerswell & Malkus, 1998). The elliptical instability is a generic instability that affects any rotating fluid whose streamlines are elliptically deformed (see the review by Kerswell, 2002). A fully threedimensional turbulent flow is excited in the bulk as soon as (i) the ratio between the ellipticity of the streamlines β and the square root of the Ekman number E (which represents the ratio between the viscous over the Coriolis forces) is larger than a critical value of order one and (ii) as soon as a difference in angular velocity exists between the mean rotation rate of the fluid and the elliptical distortion. In a planetary context, the ellipticity of streamlines is related to the gravitational deformation of the rigid boundaries of the considered fluid layer, corresponding either to dynamic tides or static bulges. The differential rotation between the fluid and the elliptical distortion can be oscillatory when due to libration in synchronized systems, or stationary, as for instance in non-synchronized ones : the elliptical instability is then refereed to as libration driven elliptical instability (LDEI) and tide driven elliptical instability (TDEI) respectively. TDEI and LDEI have already been suggested to take place respectively in Earth (e.g. Aldridge et al., 1997)  and in Io (e.g. Kerswell & Malkus, 1998). However, these previous works do not take into account some planetary particularities and need to be revisited. For instance, Aldridge et al. (1997) did not take into account the orbital rate of the Moon nor the magnetic field of the Earth, hence neglecting the effects of tides rotation and Joule dissipation on the growth of TDEI. Kerswell & Malkus (1998) implicitly assumed that the tidal response of Io is completely fluid, neglecting the rigidity of its mantle and overestimating the amplitude of librations and tidal deformations. Our purpose here is to extend previous results of the literature on TDEI and LDEI, and to determine general formulas for quantifying the presence of the elliptical instability in terrestrial bodies, taking into account the relevant complexities present in natural systems. This paper is organized as follows. Section 4.2.2 presents the different celestial forcings which could excite an elliptical instability, first focusing on tides, and then on forced and free librations. In section 4.2.3, we introduce our physical model and develop a local WKB analysis for non-synchronized and synchronized systems, including the effects of viscosity as well as the effects of an imposed magnetic field and a local temperature gradient. These theoretical results are used in section 4.2.4 to investigate the presence or not of TDEI and LDEI in telluric planets and moons of the solar system, as well as in two Super-Earths of extrasolar systems ; the possible consequences of those instabilities are finally considered.