Caractérisation du dispositif de séparation membranaire

Modélisation hydrodynamique du dispositif de séparation membranaire

Hypothèse de travail

La modélisation des phénomènes physiques liés à l’écoulement d’une émulsion dans le dispositif de séparation membranaire ainsi qu’à la séparation des fluides est complexe. Cependant, il est possible de simplifier cette modélisation en ne considérant qu’un fluide monophasique, newtonien et mouillant la membrane. Dans une puce microfluidique, certains phénomènes physiques prédominant à l’échelle macroscopique deviennent négligeables, comme la gravité et d’autres, négligeables à l’échelle macroscopique, prédominent, comme la capillarité. De plus, dans les systèmes microfluidiques, le nombre de Reynolds est généralement faible (Re < 1) et par conséquent les écoulements dans les canaux sont des écoulements laminaires. Cet écoulement va suivre alors un profil de vitesse de type « Poiseuille ». (Figure 83) Figure 83 : Ecoulement type « Poiseuille » du fluide à un débit Q (m3 /s) dans un canal de rayon r sous l’effet d’une différence de pression ΔP = PA-PB (Pa) Caractérisation du dispositif de séparation membranaire Thèse Elie AYOUB Chapitre 3 110 Dans un canal microfluidique, une différence de pression ΔP (en Pa) entraîne l’écoulement du fluide à un débit volumique Q (en m3 /s). Il existe une relation linéaire entre ces deux grandeurs dont le coefficient de proportionnalité dépend de la géométrie du canal et de la viscosité du fluide en écoulement. Cette relation est définie par l’équation de Poiseuille suivante pour un écoulement dans un canal : ∆𝑃 = 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 𝑅𝐻 ∗ 𝑄 (18) Avec RH la résistance hydraulique (en Pa.s.m-3 ) qui est donnée dans le cas d’un canal circulaire par 𝑅𝐻 = 8𝜂𝑙 𝜋𝑟 4 , avec l la longueur du canal (m), η la viscosité dynamique du fluide considéré (Pa.s) et r le rayon de la section circulaire (m) et dans le cas d’un canal rectangulaire par 𝑅𝐻 = 12𝜂𝑙 (1−0,63ℎ 𝑤 )ℎ3𝑤 , avec h et w respectivement les hauteur et largeur de la section rectangulaire (m). Figure 84 : Schéma montrant la géométrie d’un canal rectangulaire (a) et circulaire (b). Il est courant de faire une analogie entre l’écoulement d’un fluide dans une conduite et le passage du courant dans une résistance. Pour cela, la pression est alors associée à la tension, le débit volumique à l’intensité du courant électrique et la loi de Poiseuille reliant ΔP et Q est analogue à la loi d’Ohm (Tableau 6). Thèse Elie AYOUB Chapitre 3 111 Tableau 6 : Analogie entre résistance électrique et résistance hydraulique : i est l’intensité du courant traversant la résistance (A), U= VA-VB la tension aux bornes de la résistance (V) et RH la résistance hydraulique (Pa.s.m-3 ). Cette analogie est utilisée afin de simplifier l’étude du comportement d’un réseau microfluidique en le représentant par son schéma électrique équivalent. En effet, les lois des nœuds et des mailles peuvent être appliquées : conservation du débit à un nœud et variation de pression nulle sur une maille fermée. Dans le dispositif de séparation (Figure 85.a), une particule de fluide commence par s’écouler dans le premier canal (canal 1) jusqu’au moment où elle traverse la membrane pour rejoindre le second canal (canal 2). Cet écoulement transversal à travers la membrane peut perturber l’écoulement de Poiseuille dans les deux canaux. Cependant, il est possible de négliger cette perturbation du champ de vitesse principal en considérant les dimensions du système : longueur du canal très grande devant l’épaisseur des canaux et un écoulement faible à travers la membrane (par rapport à celui dans les canaux). Cette hypothèse est appelée l’hypothèse de lubrification et permet ainsi d’appliquer l’analogie électrique-hydraulique dans les canaux. A partir de ces hypothèses, il est possible de construire un modèle simplifié en raisonnant sur un fluide seul pour identifier les paramètres clés du système et les prendre en compte dans les expériences de séparation qui suivront. Ce modèle repose sur l’analogie Thèse Elie AYOUB Chapitre 3 112 électrique-hydraulique qui permet de décrire facilement le comportement des canaux microfluidiques et de la membrane au passage du fluide grâce à la notion de résistance hydraulique définie précédemment. Il a été décidé de placer un capillaire (longueur et diamètre connus) au niveau de la sortie 1 du dispositif pour mimer l’effet de l’ajout d’autres dispositifs en aval qui peuvent induire une perte de charge supplémentaire dans le processus de séparation (Figure 85.a).L’idée serait de jouer sur les dimensions de ce capillaire pour assurer une résistance hydraulique suffisamment élevée pour modifier le chemin préférentiel de passage du fluide (passage dans le compartiment supérieur « canal 1 » et sortie par la sortie 1) et en faire passer le maximum via la sortie 2. La résistance hydraulique associée à ce capillaire peut facilement être déterminée avec la loi de Poiseuille pour un capillaire circulaire et sera notée Rs dans la suite de ce manuscrit. 

Modèle hydrodynamique

 Afin d’écrire les équations qui décrivent le modèle, le système est découpé le long des canaux en portions élémentaires de longueur dx pour y effectuer un bilan de matière (Figure 85.b). Les équations entre x et x+dx sont les suivantes : 

  – L’écoulement du fluide dans le canal 1 à un débit Q1 est lié à la variation élémentaire de pression qui peut s’écrire d’après la loi de Poiseuille : 𝜕𝑥𝑃1 = − 𝑟ℎ𝑄1(𝑥) (19) avec 𝑟ℎ la résistance hydraulique linéique du canal (résistance hydraulique par unité de longueur en Pa.s.m-4 ). – De même, la variation élémentaire de pression liée à l’écoulement du fluide à un débit Q2 dans le canal 2 : 𝜕𝑥𝑃2 = − 𝑟ℎ𝑄2(𝑥) (20) avec la même résistance hydraulique linéique car les deux canaux ont les mêmes dimensions. – la variation de débit dans le canal 1 est liée à l’écoulement du fluide à travers la membrane et peut s’écrire : 𝜕𝑥𝑄1 = − 𝑤𝑉 (21) où 𝑤 (m) est la largeur du canal et 𝑉 la vitesse d’écoulement à travers la membrane qui dépend à la fois de la perméabilité de la membrane Lp (m.Pa-1 .s-1 ) et de la différence de pression de part et d’autre de la membrane (P1-P2 en Pa) avec 𝑉 = 𝐿𝑝(𝑃1 − 𝑃2) (22) – Ainsi, la variation de débit dans le canal 2 est aussi liée à l’écoulement du fluide à travers la membrane et peut s’écrire : 𝜕𝑥𝑄2 = + 𝑤𝑉 (23) La résolution de ce jeu d’équations permet ainsi d’étudier l’influence du débit d’entrée sur les débits en sortie et sur les pressions de part et d’autre de la membrane. Ces équations devront répondre aux conditions aux limites suivantes. (1) le débit du fluide qui arrive dans le canal 1 en x = 0 est celui imposé en entrée Q (donc un débit dans le canal 2, en x = 0, nul par conservation du débit volumique). (2) la sortie 2 est à pression atmosphérique et il sera posé P2 = 0 en x = L pour plus de simplicité. (3) la pression en sortie 1 est liée à la résistance du capillaire d’où P1(x = L) = RsQ1(L), en considérant que la sortie du capillaire en sortie 1 est aussi à pression nulle. 

Caractérisations de la membrane du dispositif de séparation membranaire 

Le dispositif utilisé dans le cadre de ces travaux de thèse étant un dispositif commercial, il a semblé intéressant de caractériser les membranes vendues par le fournisseur. Il faut noter que le matériau polytétrafluoroéthylène (PTFE) est connu pour être hydrophobe mais les membranes utilisées ont été traitées, par un traitement non explicité par le fournisseur, de façon à les rendre hydrophiles. Le premier type de caractérisation visait à décrire la morphologie des membranes grâce à des clichés en microscopie électronique à balayage (2.5.2). La Figure 87 présente les clichés obtenus pour une membrane hydrophile et une autre hydrophobe (fournies dans les deux cas par Dolomite).Cette figure montre que la membrane hydrophile (Figure 87 a et b) contient des pores avec des formes plutôt allongées tandis que ceux de la membrane hydrophobe (Figure 87 c et d) sont plutôt circulaires. Cela indique que la différence entre les deux types de membrane en PTFE (hydrophile et hydrophobe) n’est pas due qu’au traitement de la surface mais qu’elle se traduit aussi par un changement de la morphologie de la membrane. Les deux membranes disposent d’une répartition homogène des pores sur toute la surface, en revanche cette dispersion en fonction de l’épaisseur de la membrane n’a pas été étudiée. La Figure 88 présente l’évolution de la morphologie de la membrane hydrophile après l’utilisation de cette dernière pendant 3 mois d’expérimentation et ayant été en contact avec différents fluides (eau pure, tensioactifs, saumure, décane).es Figure 88.a et b dévoilent que la morphologie de la membrane change au niveau des zones de passage des fluides. Dans ces zones, la morphologie lisse des pores allongés (Figure 88.d) se transforme en une morphologie plus chaotique qui ressemble à des bourgeons (Figure 88.c). La deuxième caractérisation des membranes concerne les angles de contact entre ces dernières et l’eau. Les photographies des gouttes d’eau déposées sur les différentes membranes sont présentées sur la Figure 89.