Caractérisation des systèmes dynamiques discrets

Systèmes dynamiques.

Un système dynamique est la représentation dans le temps d’un phénomène physique quelconque, qui répond à une ou plusieurs entrées en interaction avec un ensemble de variables, avec une ou plusieurs sorties. Après une étude des différents types de systèmes dynamiques, nous nous attarderons sur la représentation de ces derniers.

Classification des systèmes dynamiques.

Les systèmes dynamiques se classifient en fonction de leur façon d’évoluer dans le temps. Ainsi, il existe trois types de systèmes dynamiques :
– Les systèmes stochastiques, qui évoluent au hasard dans tout l’espace sans qu’aucune équation ne les régissent. Aucune prévision exacte dans le temps n’est possible.
– Les systèmes déterministes, régis par des lois mathématiques bien connues et dont on peut donc prévoir exactement leur l’évolution dans le temps.
– Les systèmes chaotiques, qui possèdent un comportement complexe. Ils sont irrésistiblement attirés par une caractéristique géométrique de structure également complexe, sur laquelle ils se comportent erratiquement, au hasard, mais sans jamais la quitter, ni repasser deux fois par le même point.
Ces systèmes, semblent suivre à la fois des lois déterministes et des lois aléa-toires, ce qui rend toute prévision à long terme impossible.
Parmi ces systèmes, nous pouvons retrouver une bonne partie des systèmes phy-siques courants (calcul de trajectoires : d’un élément mobile, d’une planète, etc…) ;
mais on y retrouve aussi l’évolution des populations, des automates cellulaires, la météorologie et bien d’autres.

Représentation des systèmes dynamiques.

Partant de ces différentes classes de systèmes dynamiques, nous pouvons représenter l’évolution d’un système de deux formes possibles :
– systèmes en temps continu
– systèmes en temps discret
Une étude de ces deux formes sera présentée ci dessous.

Systèmes en temps continu.

Les systèmes à temps continu sont caractérisés par l’utilisation d’équations différen-tielles décrivant l’évolution des variables dans le temps.
Les équations utilisées, reposant sur une approximation au premier ordre, possèdent la forme :
X = X(t) = f(X;t,v)
avec X(t) représentant l’évolution du système dans le temps et X˙(t) correspondant à l’état instantané du système. La fonction f dépends du temps, ainsi que des paramètres du système, v. Dont le système, X1,…,XN possèdent des conditions initiales connues x1o,…,xN o.

Systèmes en temps discret.

Pour les systèmes à temps discret, le système est décrit en utilisant une modélisation dont les instants sont répartis dans le temps de façon équidistante.
Afin de répondre aux critères de discrétisation du système dans le temps, deux possibilités s’offrent à nous :
1. les caractéristiques du système imposent leurs caractères discrets,
2. le système est une version échantillonnée d’un système en temps continu.
Mais dans les deux cas, leurs représentations mathématiques utilisent des fonctions de récursivité. Une mise en équation via un système de premier ordre, est caractérisée de la façon suivante :
X(n+1) = f(Xn), n ≥ 0 (3.3)

Systèmes dynamiques

Avec une condition initiale connue X(0) = x0.
Dans le cas d’un système d’ordre supérieur (r ≥ 2) : X(n+r) = f(Xn,Xn+1,…,Xn+r−1), n ≥ 0 (3.4)

L’espace des phases.

Étant donné l’implémentation possible d’un modèle décrivant l’évolution temporelle d’un système à partir des équations caractéristiques, nous pouvons donc construire un ensemble de variables d’état associé à ce système.
Un espace mathématique, appelé espace des phases est affecté à l’ensemble des variables d’états précédemment introduits. Cet espace mathématique est donc mul-tidimensionnel et constitue toutes les valeurs possibles que peut prendre la sortie d’un système en fonction de ses paramètres.

Le portrait de phases.

C’est une représentation géométrique de la dynamique d’un système. Il peut s’agir d’une représentation uni, bi, ou tridimensionnelle, voire même multidimensionnelle.
Chaque axe compris dans le portrait de phase correspond à une variable d’état à un instant donné. L’ensemble de points représentant l’évolution du système génère des trajectoires caractéristiques du système. En utilisant le portrait de phase nous pouvons identifier l’attracteur correspondant à un système.

Les attracteurs.

Nous appelons attracteur la région de l’espace de phases précis d’un système, vers laquelle le système évolue de façon irréversible en absence de perturbations. Au sein de cette région de l’espace de phases, l’attracteur définit une forme géométrique. Il est à noter que nous pouvons trouver des attracteurs dans beaucoup de systèmes dynamiques chaotiques ou non chaotiques. Etant donné qu’une forme géométrique caractérise un attracteur, autour de laquelle le système évolue à long terme, nous pouvons classifier les différents attracteurs sui-vants en fonction des types définis ci-dessous (cf. Fig. 3.3) :
– Le point fixe (d’équilibre) : cet attracteur caractérise un système atteignant un état stationnaire (exemple : balancer un pendule au bout d’une ficelle).
– Périodique (de trajectoire fermée) : il caractérise un système atteignant un état périodique. (exemple : en tournant un cerceau autour de la taille, il décrit une trajectoire imparfaite mais après sa trajectoire va se stabiliser et former des cercles parfaits tant qu’on l’impulse de façon constante.)
– L’attracteur spatial : il décrit une surface. (exemple : l’attracteur torique, qui représente les mouvements résultant de deux oscillations indépendantes dont les trajectoires s’enroulent autour d’un tore).
– L’attracteur étrange : sa structure contient deux tendances apparemment antagonistes : l’attraction des trajectoires vers un type de comportement et leur divergence sur une trajectoire constante.
Les trajectoires observées ne se coupent jamais, et pourtant semblent évoluer au hasard formant des sortes de boucles pas tout à fait concentriques, pas tout à fait sur le même plan, mais formant des figures indiscutablement reconnais-sables.
L’un des exemples classiques est l’attracteur de Lorentz ou « papillon ».
Dans le cas des systèmes en temps discret, la représentation est plutôt conformée par une suite de points. L’orbite qui représente l’évolution du système s’obtient par
itération graphique.

Caractérisation des systèmes dynamiques discrets.

Dans le cas général, un système dynamique discret (SSD) est décrit par un système d’équations aux différences finies, qui génère une fonction de récurrence appliquée à chaque point du système.
Par simplicité, nous allons étudier les systèmes de premier ordre, unidimensionnels (éq. 3.3), ce modèle représente un système à boucle fermée avec une seule sortie.

Caractérisation des systèmes dynamiques discrets.

Nous appelerons orbite ou trajectoire de fXn la représentation Xn+1 vs Xn, du système à la suite générée par l’itération du système, à partir d’une condition initiale : Ox0 = {x0, X1, X2, . . .} (3.5) Une manière très utile dans la visualisation de l’évolution d’un système dynamique en temps discret consiste à utiliser l’itération graphique.
L’itération graphique s’effectue en superposant deux courbes : la fonction sous étude (y = f(x)), et la diagonale de pente unitaire (y = x). Nous allons utiliser la diagonale pour retrouver le point obtenu sur l’axe des y, dans l’axe des x, afin d’exécuter graphiquement une itération de f, à partir d’une condition initiale x0 (figure 3.4).
La figure 3.4 illustre l’itération graphique de deux fonctions, f et g. La fonction f(x) (3.4.a) converge au bout des itérations vers un point fixe, z0, tant que g(x) continue les itérations autour d’une trajectoire fermée de façon indéfinie (3.4.b).
En appliquant les définitions des types d’attracteurs, nous pouvons obtenir des re-lations utiles pour l’analyse des orbites :
– la condition du point fixe, est atteinte quand un point xk verifie : f(xk) = xk (3.6)
Un critère d’identification de cette caractéristique consiste à analyser la pre-mière dérivée de la fonction autour du point fixe. Une illustration est proposée en Fig.3.5. Soit x0 un point fixe de f, avec la fonction f soumise à un para-mètre λ :
◦ Si |f0(x0)| > 1, x0 est un point répulsif, à partir de ce point il y a différents points adjacents divergents vers des valeurs différentes de ce point après un certain nombre d’itérations(3.5a).
◦ Si |f0(x0)| < 1, x0 est un point attracteur, les points adjacents convergent vers ce point après un nombre d’itérations (3.5b).
◦ Si f0(x0) = ±1, x0 est un point invariant où nous ne pouvons rien indiquer en particulier concernant x0 (3.5c).

Le phénomène de bifurcation.

Le phénomène de bifurcation indique un changement significatif sur la dynamique d’un système, qui se produit lorsque ses paramètres changent. Donc en fonction du changement d’un paramètre, un système peut aller vers une caractéristique mo-notone, périodique ou chaotique. La valeur pour laquelle l’effet de bifurcation se

Le chaos déterministe.

Il existe une bifurcation (un changement dans le nombre de points fixes) si fλ possède un point fixe invariant, pour une valeur de λ donné. Si, par rapport aux voisinages de λ, il présente la transition d’un point attracteur vers un répulsif, le système présente un dédoublement de la période.